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1、2022年河北省唐山市联合中学高二数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（ ）（参考公式：）A. 2B. C. 4D. 参考答案：B【分析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半
2、径为.设底面正方形的边长为，正四凌锥的高为，则.因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即又因为正四棱锥的体积为4，所以 由得，代入得，配凑得，即，得或.因为，所以，再将代入中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半径等于.故选B.【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.2. 直线的倾斜角为 （ ） A B C不存在 D参考答案：B略3. 圆C的方程为，则圆C的圆心坐标和半径r分别为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A4. 已知定义在R上的奇函数，设其导函
3、数为，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是（）A. B. (2,1)C. (1,2)D. 参考答案：A试题分析：定义在R上的奇函数f（x），所以：f（-x）=-f（x）设f（x）的导函数为f（x），当x（-，0时，恒有xf（x）f（-x），则：xf（x）+f（x）0即：xf（x）0所以：函数F（x）=xf（x）在（-，0）上是单调递减函数由于f（x）为奇函数，令F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数所以函数F（x）=xf（x）在（0，+）上是单调递增函数则：满足F（3）F（2x-1）满足的条件是：解得：x2所以x的范围是：（，2）考点：利用导数研究函数的单调性5. 在正方体中，与平面
4、所成的角的大小是 A90 B30 C 45 D60 参考答案：6. 已知全集，则为（ ）A. B. C. D.参考答案：D略7. 不等式1的解集是高考资源网Axx1 BxxCxx1 Dxx0，或0x 参考答案：D8. 直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为() A18 B24 C36 D48参考答案：C9. 1,3,5一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为（ ） A B C D参考答案：D略10. 某景区原来在一段栈道上安排了10名安全员，后由
5、于人员紧张，需撤掉3人，但出于安全考虑，首尾两个不能撤，撤掉的3人中任意两个不能相邻，则不同的撤法的种数为（ ）A. 120B. 56C. 35D. 20参考答案：D【分析】由题意，只需撤掉中间8人中的3人，且任意两个人不能相邻，由插空的思想可得有种撤法.【详解】由题意，首尾两个不能撤，只需撤掉中间8人中的3人，且任意两个人不能相邻，故有种，故选：D【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ABC的外接圆半径为1，若，则ABC的面积为_参考答案：分析：由正弦定理可把其中一边化为
6、角，从而由及由公式求得面积.详解：由题意得，即，故答案为.点睛：正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.12. 参考答案：13. 设若圆与圆的公共弦长为，则= .参考答案：a=014. 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目按要求对甲项目的投资不少于对乙项目投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元；对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润，对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润，如该公司在正确规划后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 万元参考答案：31.2【考点】简单线性规划【分析】这是一个简单的投资分析，因为对乙项目投资获利较大，故在投资规
7、划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍），尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润这是最优解法【解答】解：因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍可获最大利润这是最优解法即对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元故答案为：31.215. 设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为参考答案：6【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用
8、数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=x+z，则直线截距最大时，z也最大平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得，即B（6，6），此时B也在直线y=k上，k=6，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，即，即A（12，6），此时z=x+y=12+6=6，故答案为：616. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 参考答案：2117. 同时掷两个骰子，点数之和等于5的概率是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说
9、明，证明过程或演算步骤18. 已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数a，b，c满足，求证：参考答案：（1）；（2）详见解析.【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值.（2）.19. 设f（n）=（a+b）n（nN*，n2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值参考答案：【考点】D
10、C：二项式定理的应用【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2kn）2=n+2，问题转化为求当n2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，+=2，即、成等差数列，f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在kN*，1kn1，使、成等差数列，所以+=2，整理得：4k24nk+（n2n2）=0，即（2kn）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n2016，由于44
11、22016+2452，所以n的最大值为4422=1934，此时k=989或945【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及等差数列等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题20. 随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行如图是其中一个抽象派雕塑的设计图图中表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于，BDAB，且保持BD与AC异面（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与应成的角；（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面
12、板装饰物但他担心此设计不一定能实现请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与有关（为设计的BD与所成的角），写出MN与的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离【分析】（1）作出BD在内的射影，根据勾股定理求出D到平面的距离，即可求出线面角的大小；（2）使用表示出，即可
13、证明与，共面；（3）对（2）中的结论两边平方，得出MN的长度表达式，根据的范围求出MN的最大值【解答】解：（1）设D在上的射影为H，AC，DH，ACDH，AC，DH共面，过D作DKAC于K，则AHDK为矩形，DK=AH设DH=h，则（ACh）2+AH2=CD2，BDAB，ABDH，BHAB，AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2h2）将代入，得：（24h）2+72+（242h2）=252，解得h=12，于是，DBH=30，即BD与所成的是30（2）解：，2=共面一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（3）由（2）得=，=+=+cos（）=288（1+sin）MN=12（0，）12MN24当MN大于或大于24米时一定够用【点评】本题考查了线面垂直的性质，直线共面的判断，向量法在几何中的应用，属于中档题21. 设集合，. （1）当时，求A的非空真子集的个数；
