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1、2022-2023学年湖南省郴州市大布江中学高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数的共轭复数为（ ）A B C D 参考答案：B2. 已知A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），若，则的值为（）ABCD参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算【分析】由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sin+cos的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（+）的值【解答】解：=（cos3，sin），=
2、（cos，sin3）=（cos3）?cos+sin（sin3）=1得cos2+sin23（cos+sin）=1，故sin（+）=（sin+cos）=故选B3. 椭圆M：=1 (ab0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是 A、 B、 C、 D、参考答案：A4. 已知x，则“x”是“sin（sinx）cos（cosx）成立”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：当x时，sinxcosx所以0sinxcosx于是sin（sinx）sin
3、（cosx）cos（cosx），充分性成立.取x，有sin（sinx）sin（）sin0cos（cosx）cos（）cos0所以sin（sinx）cos（cosx）也成立，必要性不成立故选C考点：三角函数的性质，充要条件5. 在复平面上，复数对应点所在的象限是A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限 参考答案：D6. 执行右图的程序框图，若输出的，则输入整数的最大值是_.A15 B14 C7 D6参考答案：A略7. 下列命题中是假命题的是（）A?x（0，），xsinxB?x0R，sinx0+cosx0=2C?xR，3x0D?x0R，lgx0=0参考答案：B【考点】特称命题；全称命题【分析】
4、构造函数，求导判定出函数单增，得到f（x）0，判定出A正确；将sinx+cosx变为求出值域为，判定出B错误【解答】解：对于A，令f（x）=xsinx，?x（0，），f（x）=1cosx0，f（x）=xsinx在（0，）上单增，f（x）0，xsinx，选项A对；对于B，sinx+cosx=，选项B错故选B8. 已知数列an的通项为，我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在内最大的“优数”为（） A. 510 B. 512 C. 1022 D. 1024参考答案：C略9. 已知向量，则锐角等于（ ）A30 B45 C60 D75参考答案：B10. 存在整数n,使+是整数的质数(
5、) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个参考答案：D解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(kN+)，使+=2k+1故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a(m,n1)，b(1,1)(m、n为正数)，若ab，则的最小值是_参考答案：12. 若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值是，则_.参考答案：略13. 设等差数列的公差是2，前项的和为则.参考答案：答案：3解析：根据题意知代入极限式得14. 曲线f(x)=x2+在点(1,f(1)处的切线与直线x+y-2=0垂直,则实数a=参考答案：115. 已知的夹角为的
6、单位向量，向量，若，则实数 参考答案：16. 若实数a，b均不为零，且x2=（x0），则（x2xb）9展开式中的常数项等于 参考答案：672考点：二项式系数的性质3794729专题：计算题分析：根据题意，x2=，代入（x2xb）9中可得（x2x2a）9，可得其展开式为Tr+1=（2）r?C93?（xa）93r；进而将r=3代入展开式，计算可得答案解答：解：根据题意，x2=，则（x2xb）9=（x2x2a）9，其展开式为Tr+1=C9r?（x）9r?（2x2a）r=（2）r?C93?（xa）93r；令r=3时，可得其展开式的常数项为（2）3?（xa）93r=672；故答案为：672点评：本题考查
7、二项式定理的运用，解题时关键在于对其展开式的形式的记忆与有理数指数幂的化简计算17. 已知函数f（x）=axlnx，x（0，+），其中a为实数，f（x）为f（x）的导函数，若f（1）=3，则a的值为 参考答案：3【考点】导数的运算 【专题】导数的概念及应用【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可【解答】解：f（x）=a（1+lnx），f（1）=3，a（1+ln1）=3，解得a=3，故答案为：3【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）设数列的前项和为，且.（）求，；（）求证：数列
8、是等比数列；（）求数列的前项和.参考答案：解：（I）由题意，当时，得，解得. 当时，得，解得. 当时，得，解得. 所以，为所求. () 因为，所以有成立. 两式相减得：. 所以，即. 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （）由() 得：，即.则. 设数列的前项和为, 则， 所以， 所以， 即. 所以数列的前项和=， 整理得，.19. （本小题满分12分） 已知函数(1)求函数的最小值；(2)已知，命题：关于的不等式对任意恒成立；：函数是增函数，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围参考答案：(1)作出函数的图象，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为 (2)对于命题：，故；对
9、于命题：，故或 由于“或”为真，“且”为假，则若真假，则，解得 若假真，则，解得或故实数的取值范围是 20. 在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.参考答案：解：（1），的参数方程是为参数）（2）上一点到直线的距离为，所以，当时，取得最大值，此时略21. （2013?黄埔区一模）给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C
10、的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BDx轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由参考答案：解：（1）由题意可得：，b=1，r=2椭圆C的方程为，其“准圆”的方程为x2+y2=4；（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=2，取点A（2，0）设点B（x0，y0），则D（x0，y0）=（x02，y0）?（x02，y0）=，点B在椭圆上，=，即的取值
11、范围为（3）当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为，此时l1l2；当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x0，y0），直线l的方程为m（yy0）=xx0联立消去x得到关于y的一元二次方程：，=0，化为，m存在，m1m2=点P在准圆上，m1m21即直线l1，l2的斜率，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l1l2综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，l1l2略22. （本小题满分13分）已知圆：，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于
12、点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；(3)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.参考答案：解: (1) 因为的垂直平分线交 于点. 所以 所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆 2分设椭圆的标准方程为则，则椭圆的标准方程为4分(2) 设，则 因为则 由解得 7分所以直线的斜率 8分(3)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得: 得9分由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，设则假设在轴上存在定点，满足题设，则因为以为直径的圆恒过点,则，即: (*)因为则(*)变为11分 由假设得对于任意的,恒成立，即解得13分因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.13分
