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1、黑龙江省哈尔滨市石人中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）（A）若，则 （B）若则（C）若，则 （D）若则参考答案：C略2. 下列命题中的假命题是（）A?xR，lgx=0B?xR，tanx=1C?xR，x30D?xR，2x0参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断对于C选项x=1时，（1）3=10，不正
2、确故选C3. 已知集合A=2，0，1，4，则集合B中所有的元素之和为( )A.2 B.2 C.0 D.参考答案：B略4. 设是函数图象上的点，则的最小值为（ ） A B C D参考答案：A略5. 参考答案：C6. 下列结论错误的是（ ）A命题“若则”与命题“若则”互为逆否命题;B命题，命题则为真;C“若则”的逆命题为真命题;D若为假命题，则、均为假命题参考答案：C略7. 二面角为，A,B是棱上的两点，AC,BD分别在半平面内，且，则的长为 A B C D参考答案：答案：A 8. 已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题是真命题的是（ ）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则参考答案：
3、B对于答案A，有的可能，故不是真命题；对于答案C，直线也可以与平面相交，不是真命题；对于答案D中的直线，有的可能，故不是真命题，应选答案B。9. 已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D. 参考答案：D10. 已知圆O：x2+y2=4与直线y=x交于点A，B，直线y=x+m（m0）与圆O相切于点P，则PAB的面积为（）A+1B+C+2D+ 参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系【分析】由点到直线的距离求得m的值，将直线代入圆的方程，求得切点P，利用点到直线的距离公式求得
4、P到直线y=x的距离d，则PAB的面积S=?丨AB丨?d【解答】解：由直线y=x过圆心O，则丨AB丨=4，由y=x+m与圆相切，则=2，则m=4，由m0，则m=4，由，解得：，则P（，1），则点P到直线y=x的距离d=，PAB的面积S=?丨AB丨?d=+，故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则= 参考答案：6 设则为奇函数，所以12. (几何证明选做题)如图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦于点， ，则 .参考答案：略13. 已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两相互垂直,则球心到截面的距离为_.参考答案：【知识点】球的
5、截面性质解析：由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体，因为球的直径为，所以正方体的棱长为2，则PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=,，设P到截面的距离为d，则有，解得，所以球心到截面的距离为.【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，若直接解答不方便时，可通过补形法转化为球内接正方体或长方体的关系进行解答.14. 若函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最大值为参考答案：6【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用【分析】由题意得f（0）=f（2）=0且f（4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可
6、得f（x）=x4x3+x2+4x利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值【解答】解：函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=1对称，f（0）=f（2）=0且f（4）=f（2）=0，即b=0且（14）（4）2+a?（4）+b=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1x2）（x2+4x）=x4x3+x2+4x，求导数，得f（x）=x33x2+2x+4=（x+1）（x+1+）（x+1）当x（，1）（1，1+）时，f（x）0，当x（1，1）（1+，+）时，f（x）0，f（x）在（，1）单调递增，在（1，1）单调递减，在（1，1+）单调递增，在（1+，+）单调递减，
7、故当x=1和x=1+时取极大值，f（1）=f（1+）=6故答案为：6【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=1对称，求函数的最大值着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题15. 若则参考答案：116. 一个无穷等比数列的公比为q，满足0，前项和为，且它的第4项与第8项之和等与，第5项与第7项之积等与，则=_。参考答案：答案:32解析:由题设知，又0q1则得，17. f（x）是定义在2，2上的偶函数，且f（x）在0，2上单调递减，若f（1m）f（m）成立，求实数m的取值范围 参考答案：1【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】压轴题；函数的性质及应用【分析
8、】根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得f（x）在2，0上单调递增，故不等式f（1m）f（m）可化为，解得即得答案【解答】解：f（x）在0，2上单调递减，且f（x）是定义在2，2上的偶函数，故f（x）在2，0上单调递增，故不等式f（1m）f（m）可化为解得1，即实数m的取值范围为：1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，其中利用函数的定义域和单调性，将抽象不等式具体化是解答的关键三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知，数列的前n项和为，点在曲线上，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列的
9、前n项和为，且满足，求数列的通项公式；（3）求证：.参考答案：解：（1），数列是等差数列，首项，公差d=4 ， ks5u5分（2）由，得，数列是等差数列，首项为，公差为1， 当 11分（3） 14分略19. 下图是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是（），其中，（）根据图象求函数的解析式；（）将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值参考答案：解：（）由函数图象及函数模型知；1分由，得 2分由最高点得，4分又， 5分所求函数解析式为 6分（）解法一：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到 8分， 10分ks5u当，即时，有最大值
10、2； 11分当，即时，有最小值1 12分解法二：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到 8分令，函数的单调递增区间是，由，得，设， 则， 10分函数在区间上单调递增同理可得，函数在区间上单调递减又，函数在上的最大值为2，最小值为1 12分略20. （本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.() 求z的值； () 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本
11、看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；() 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.参考答案：21. （本题满分15分） 如图1，在直角梯形中，为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.（I）求证:平面； （II） 求二面角的余弦值.参考答案：解:（I）在图1中,可得,从而,故取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面, 又, 平面 7分（II）二面角的余弦值为. 7分w 略22. 在等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Sn参考答案：（1）an（2）（1）设等差数列an的公差为d，a7=4，a19=2a9，解得，a1=1，d=an1+(n?1)= （II）bn=?sn=2(1? + ? + ? )=2(1?)=略
