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1、福建省福州市长乐江田中学高二数学理知识点试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设点P对应的复数为3+3i,以原点为极点,实轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为( )A. B. C. D. 参考答案:A分析:先求出点P的直角坐标,P到原点的距离r,根据点P的位置和极角的定义求出极角,从而得到点P的极坐标详解:点P对应的复数为,则点P的直角坐标为,点P到原点的距离,且点P第二象限的平分线上,故极角等于,故点P的极坐标为,故选:A点睛:本题考查把直角坐标化为极坐标的方法,复数与复平面内对应点间的关系,求点P的
2、极角是解题的难点2. 定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:; ; ; .则其中是“保等比数列函数”的的序号为-( )A. B C D 参考答案:C3. 若是定义域为,值域为的函数,则这样的函数共有( )A、128个 B、126个 C、72个 D、64个参考答案:B4. 已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的递减区间为() A(0,4)B(-,1),(,4)C(0,)D(0,1),(4,+)参考答案:D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】结合函数图象求出f(x)f(x)0成立的x的范围即可【解答
3、】解:结合图象:x(0,1)和x(4,+)时,f(x)f(x)0,而g(x)=,故g(x)在(0,1),(4,+)递减,故选:D5. 设F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,若F1PQ=60,|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为()ABCD参考答案:D【考点】椭圆的简单性质【分析】设|PF1|=t,则由F1PQ=60,|PF1|=|PQ|,推出PQ|=t,|F1Q|=t,且F2为PQ的中点,根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a用t表示,根据等边三角形的高,求出2c用t表示,再由椭圆的离心率公式e=,即可得到答案【解答】解:设|PF1|=t,
4、|PF1|=|PQ|,F1PQ=60,|PQ|=t,|F1Q|=t,由F1PQ为等边三角形,得|F1P|=|F1Q|,由对称性可知,PQ垂直于x轴,F2为PQ的中点,|PF2|=,|F1F2|=,即2c=,由椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,即2a=t=t,椭圆的离心率为:e=故选D6. 已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,则椭圆的标准方程为()ABCD参考答案:C【考点】椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的标准方程为,由于椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,可得,解得即可【解答】解:设椭圆的标准方程为,椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=
5、,解得故椭圆的方程为故选C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题7. 设函数f(x)=xex,则()Ax=1为f(x)的极大值点Bx=1为f(x)的极小值点Cx=1为f(x)的极大值点Dx=1为f(x)的极小值点参考答案:D【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由题意,可先求出f(x)=(x+1)ex,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=1为f(x)的极小值点【解答】解:由于f(x)=xex,可得f(x)=(x+1)ex,令f(x)=(x+1)ex=0可得x=1令f(x)=(x+1)ex0可得x1,即函数在(1,+)上是增函数令f(x)=(x+1)ex0可得x1,即函数在(,
6、1)上是减函数所以x=1为f(x)的极小值点故选D8. 数列3,5,9,17,33的一个通项公式是()Aan=2nBan=2n+1Can=3nDan=2n1参考答案:B考点:数列的概念及简单表示法 专题:点列、递归数列与数学归纳法分析:根据数列的项的特点,根据规律性即可得到结论解答:解:3=2+1,5=4+1,9=8+1,17=16=1,33=32+1,数列的通项公式可以是an=2n+1,故选:B点评:本题主要考查数列的通项公式的求解,根据数列项的规律是解决本题的关键9. 已知集合,则ST=( )A. (9,5)B. (,5)C. (9,0)D. (0,5)参考答案:D【分析】先化简集合S、T
7、,再求得解.【详解】由题得,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10. 已知向量,如果,那么( )Ak=1且与同向 Bk=1且与反向Ck=1且与同向 Dk=1且与反向参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过圆外一点,引圆的两条切线,切点为,则直线的方程为_ _.参考答案:12. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件,“两颗骰子的点数之和大于8”为事件,则 .参考答案:试题分析:因红骰子向上的点数是的倍数,故有两种可能;在此前提下,两骰子的点数
8、之和大于的可能有共五种可能,即而所有可能为种可能,故由古典概型的公式可得所求条件事件的概率为.应填.考点:条件事件的概率和计算13. 已知数列的前项和(),则=_参考答案:略14. 若的展开式的所有二项式系数之和为32,则展开式中的常数项为_参考答案:10【分析】根据二项式系数和得,解得n;写出二项展开式的通项公式,根据x的幂指数等于零解得,代入通项公式可求得常数项.【详解】展开式的二项式系数和为:,解得:展开式的通项公式为:令得:常数项为:本题正确结果:10【点睛】本题考查二项式定理中常数项的求解问题,涉及到二项式系数和的性质、展开式通项公式的应用,属于常考题型.15. 以椭圆的左焦点为圆心
9、,短半轴长为半径的圆方程为_.参考答案:16. 已知命题p:“?x0,1,aex”,命题q:“?xR,x24xa0”,若上述两个命题都是真命题,则实数a的取值范围为_参考答案:e,4略17. 已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,ae12e2,bke1e2.若ab0,则实数k的值为_参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分13分)某高中有高级教师96人,中级教师144人,初级教师48人,为了进一步推进高中课程改革,邀请甲、乙、丙、丁四位专家到校指导。学校计划从所有教师中采用分层抽样办法选取6名教师分别与专家一对一交流,选出的6
10、名教师再由专家随机抽取教师进行教学调研。(1)求应从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽取几人;(2)若甲专家选取了两名教师,这两名教师分别是高级教师和中级教师的概率;(3)若每位专家只抽一名教师,每位教师只与其中一位专家交流,求高级教师恰有一人被抽到的概率。参考答案:(1)从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目之比为:96:144:48=2:3:1得:从高级教师、中级教师、初级教师中分别抽数目分别为2,3,12分.(2)设抽取的6人中高级教师为,中级教师为,初级教师为;则甲抽取2两名教师所有可能的结果为:,共种;其中甲抽取到一名高级教师和一名中级教师结果为:,共6种所以甲抽取到一名高级教
11、师和一名中级教师的概率为7分.(3)抽取4名教师所有可能的结果为,其中高级教师恰有一人被抽到的结果有8种,则高级教师恰有一人被抽到的概率是19. 已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程;(2)证明:抛物线在点处的切线与直线平行;(3)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由参考答案:解(1)将化为,则焦点坐标是,准线方程是(2)如图,设,把代入得,由韦达定理得,.,点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为,.将代入上式得,直线与抛物线相切,即 (3)假设存在实数,使,则,又是的中点, 由()知 轴,又 ,解得即存在,使.或设,由
12、(2)有,即 即解之得:,故 略20. 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求f(x)的单调减区间;(II)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 参考答案:(I)f(x)=-3x2+6x+9. 令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+). (II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2),因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增,又由于f(x)在-2,-1上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上
13、的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7. 21. 已知函数.()当时,求不等式的解集;()若的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.参考答案:()()(2,+)试题分析:()由题意零点分段即可确定不等式的解集为;()由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为 试题解析:(I)当时,化为, 当时,不等式化为,无解; 当时,不等式化为,解得; 当时,不等式化为,解得。 所以的解集为。 (II)由题设可得, 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为,的面积为。 由题设得,故。 所以a的取值范围为 22. 若数列an是的递增等差数列,其中的a3=5,且a1,a2,a5成等比数列,