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1、2022年福建省三明市大田县职业中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2）
2、，f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3?+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题2. 已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析
3、】先根据奇偶性确定周期性，再根据图象确定有3个零点的条件，解得结果.【详解】为偶函数，所以周期为4，根据偶函数以及当时，作出图象，结合图象要使图象确定有3个零点，需解得故选A【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及函数零点，考查综合分析求解能力，属基础题.3. 已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是 A B C D参考答案：D当时，由得，此时。当时，由得。即，因为，所以，即，选D.4. 若，则“”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件参考答案：A5. 已知，则等于 （ ） A、 B、 C、 D、参考答案：D由于受条件sin2+cos2=1的制
4、约，故m为一确定的值，于是sin,cos的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又，1，故选D。6. 甲乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是（ ）A B C D参考答案：C略7. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在内的频数为（ ）A.8 B.32 C.40 D.无法确定参考答案：B略8. 表示不超过的最大整数，例如2.92，4.15，已知，则函数的零点个数是()A2 B3 C4 D5参考答案：A略9. 已知平面向量满足，的夹角为60，则“m=1”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：C略10.
5、设集合，则（ ）A(0,4) B0,4) C(0,2) D0,2) 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 向平面区域.内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率等于_参考答案：12. 设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）A（n），A为数列an的前202项和，函数f（x）=exe+1，若函数g（x）满足fg（x）=1，且bn=g（n）（nN*），则数列bn的前n项和为参考答案：n+3（2n+3）?（）n【考点】数列的求和【分析】先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得A=2，再由函数f（x）为R上的增函数，求得g（x）的解析式，即有bn=g
6、（n）=1+（2n1）?（）n，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和【解答】解：n的个位数为1时有：an=A（n2）A（n）=0，n的个位数为2时有：an=A（n2）A（n）=42=2，n的个位数为3时有：an=A（n2）A（n）=93=6，n的个位数为4时有：an=A（n2）A（n）=64=2，n的个位数为5时有：an=A（n2）A（n）=55=0，n的个位数为6时有：an=A（n2）A（n）=66=0，n的个位数为7时有：an=A（n2）A（n）=97=2，n的个位数为8时有：an=A（n2）A（n）=48=4，n的个位数为9时有：an=A（n2）A（n）=19
7、=8，n的个位数为0时有：an=A（n2）A（n）=00=0，每10个一循环，这10个数的和为：0，20210=20余2，余下两个数为：a201=0，a202=2，数列an的前202项和等于：a201+a202=0+2=2，即有A=2函数函数f（x）=exe+1为R上的增函数，且f（1）=1，fg（x）=1=f（1），可得g（x）=1+=1+，则g（n）=1+（2n1）?（）n，即有bn=g（n）=1+（2n1）?（）n，则数列bn的前n项和为n+1?（）1+3?（）2+5?（）3+（2n1）?（）n，可令S=1?（）1+3?（）2+5?（）3+（2n1）?（）n，S=1?（）2+3?（）3+
8、5?（）4+（2n1）?（）n+1，两式相减可得S=+2（）2+（）3+（）4+（）n（2n1）?（）n+1=+2?（2n1）?（）n+1，化简可得S=3（2n+3）?（）n，则数列bn的前n项和为n+3（2n+3）?（）n故答案为：n+3（2n+3）?（）n13. 已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t=_.参考答案：=略14. 已知函数和，若存在实数a使得，则实数b的取值范围为_参考答案：1,5 当时, ;当时,若存在使,则,即,解得,故填.点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利
9、用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意,即方程有解问题,从而限制的范围,解出不等式即可.15. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_参考答案：当，函数的图象如图：时，要使得关于的方程有三个不同的根，则：，即，解得，故的取值范围是16. 已知数列通项公式为，数列通项公式为。设若在数列中，则实数的取值范围是 。参考答案：略17. 若向量a，b满足：=，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于.参考答案：答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分l2分）设椭圆的焦点分别为、，直
10、线：交轴于点，且（1）试求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示） 试求四边形面积的最大值和最小值参考答案： 19. 过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.参考答案：(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为,则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为.-5分(2)显然对任意非零整数,
11、点都是L上的整点,故L上有无穷多个整点. 假设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设,则,因为是奇素数,于是,从可推出,再由可推出,令,则有,由,得,于是,即,于是,得,故,有,但L上的点满足,矛盾!因此,L上任意点到原点的距离不为整数.- -10分20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,平面底面，为的中点，是棱上的点，,. （）求证：平面平面； （）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的长.参考答案：21. 已知函数（1）若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：不等式，即为，令，则，令，则，当，在上单调递增，从
12、而，故在上单调递增，所以.考点：1.利用导数求函数的单调性问题；2.函数中恒成立求参数范围.略22. 已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3x23（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t，2，都有f（s）g（t）成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x，2时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于axx2lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=xx2lnx在区间，2上取得最大值，则实数a的取值范围可求【解
13、答】解：（1）h（x）=+lnx，h（x）=，a0，h（x）0，函数h（x）在（0，+）上单调递增a0时，h（x）0，则x（，+），函数h（x）的单调递增区间为（，+），h（x）0，则x（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），（2）g（x）=x3x23，g（x）=3x（x），x2g（x）00+g（x）3递减极小值递增1由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x，2时，f（x）=+xlnx1恒成立，等价于axx2lnx恒成立，记u（x）=xx2lnx，所以au（x）max，u（x）=1x2xlnx，可知u（1）=0，当x（，1）时，1x0，2xlnx0，则u（x）0，u（x）在x（，2）上单调递增；当x（1，2）时，1
