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1、2022年河南省南阳市邓州第五中学高一数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-14）共线，则（ ）A、x=-1 B、x=3 C、x=4 D、x=51参考答案：C略2. 正四面体中，与平面所成角的正弦值为A B CD 参考答案：A3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.【详解】因为，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.4.
2、 已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上皆有可能参考答案：C【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可用表示出圆心到直线的距离，分别在和两种情况下求解出，从而得到直线与圆相交.【详解】直线方程可整理为：由圆方程可知，圆心：；半径：圆心到直线的距离：若，则，此时直线与圆相交若，则又（当且仅当时取等号） 则，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果.5. 已知函数,若,则x的取值范围是( )A. (,1)
3、(2,+) B. (2,1) C. (1,2) D. (,2)(1,+) 参考答案：D6. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A、B、 C、D、参考答案：A略7. 设x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 10参考答案：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选B【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法8. 在四个函数y=sin|x|, y=cos
4、|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以p为周期，在(0,)上单调递增的偶函数是(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|参考答案：D9. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为A. B C D参考答案：C，由正弦定理可知解得。10. 过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为（）Ax+y4=0B3xy=0Cx+y4=0或3x+y=0Dx+y4=0或3xy=0参考答案：D【考点】直线的截距式方程【分析】设出直线的
5、截距式方程，代入点的坐标，推出a的值，即可求出直线方程【解答】解：由题意设直线方程为+=1（a0），点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线上，a=4，所求直线方程为x+y4=0，当直线经过原点时，此时直线方程为3xy=0故选：D【点评】本题考查直线方程的求法，截距式方程的应用，基本知识的考查二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 参考答案：1a2，或a4【考点】函数零点的判定定理【分析】分段函数求解得出2xa=0，x23ax+2a2=（xa）（x2a），分类分别判断零点，总结出答案【解答】解
6、：y=2x，x2，02x4，0a4时，2xa=0，有一个解，a0或a4，2xa=0无解x23ax+2a2=（xa）（x2a），当a（0，1）时，方程x23ax+2a2=0在1，+）上无解；当a1，2）时，方程x23ax+2a2=0在1，+）上有且仅有一个解；当a2，+）时，方程x23ax+2a2=0在x1，+）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1a2，或a4故答案为：1a2，或a4【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用，把问题分解研究的问题，拆开来研究，从多种角度研究问题，分析问题的能力12. 若，则a的取值范围是_参考答案：略13. 给出下列语句：若a
7、，b为正实数，ab，则a3+b3a2b+ab2；若a，b，m为正实数，ab，则若，则ab；当x（0，）时，sin x+的最小值为2，其中结论正确的是参考答案：【考点】R3：不等式的基本性质【分析】，若a，bR+，ab，a3+b3（a2b+ab2）=（ab）2（a+b）0；，若a，b，mR+，ab，作差判断即可；不等式中c0，不等式的两边同乘以c2，判断结论即可；，当x（0，）时，sinx（0.1），结合不等式的性质判断即可【解答】解：对于，若a，bR+，ab，a3+b3（a2b+ab2）=（ab）2（a+b）0，故a3+b3a2b+ab2正确；对于，若a，b，mR+，ab，则=0，则故错；对于
8、，若，则ab，故正确；对于，当x（0，）时，若sin x+的最小值为2，则sinx=，显然不成立，故错误，故答案为：14. 若100a=5，10b=2，则2a+b= 参考答案：1【考点】基本不等式【分析】先把指数式化为对数式即可得出【解答】解：100a=5，10b=2，=，b=lg2，2a+b=lg2+lg5=1故答案为115. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= 参考答案：3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，）
9、，得 =2a，a=y=f（x）=f（9）=3故答案为：316. 定义在上的函数，对任意的都有且当时，则不等式的解集为 参考答案：(2,0)(0,2)当时，由，得；由，得.，函数为奇函数。当时，由，得；由，得.不等式等价于或，解得或。不等式的解集为。答案：17. 已知则的取值范围是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函
10、数的定义域（2）当AE为何值时，绿地面积最大？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义【分析】（1）先求得四边形ABCD，AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解【解答】解：（1）SAEH=SCFG=x2，SBEF=SDGH=（ax）（2x）y=SABCD2SAEH2SBEF=2ax2（ax）（2x）=2x2+（a+2）x由，得0x2y=2x2+（a+2）x，0x2（2）当，即a6时，则x=时，y取最大值当2，即a6时，y=2x2+（a+2）x，在（0，2上是增函数，则x=
11、2时，y取最大值2a4综上所述：当a6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a419. 已知OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近O的三等分点，设=， =（1）用向量与表示向量；（2）若点E是线段OA靠近A的三等分点，证明平行于参考答案：【考点】96：平行向量与共线向量【分析】（1）根据向量的三角形法则即可求出，（2）根向量的三角形法则和向量的数乘运算可得=，问题得以证明【解答】解：（1）=（+）=+，（2）证明：点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，点E是线段OA靠近A的三等分点，=， =（+）=+，=+，=，=，平行于20. 已知，均为锐
12、角，且.（1）求的值；（2）若，求的值参考答案：（1） ；（2）【分析】（1）计算出，对进行平方，根据两角和差余弦公式可构造出关于的方程，解方程求得结果；（2）根据角的范围可求得，根据，利用两角和差余弦公式求得结果.【详解】（1）由题意得：，解得：（2） 由，可得：，【点睛】本题考查根据两角和差余弦公式化简、求值的问题，涉及到向量数量积运算、同角三角函数值的求解，易错点是忽略角的范围，造成求解同角三角函数值时出现符号错误.21. 已知集合（），（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围参考答案：略22. 已知函数在一个周期内的部分函数图象如图所示.（）求函数的解析式；（）求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案：见解析【知识点】三角函数的图像与性质解：（）由函数图像知：A=2因为又所以（）因为所以所以所以故函数在区间上的最大值为2，,最小值为-1
