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1、2022年江西省吉安市遂川新江中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列在曲线上的点是. . . .参考答案:B2. 已知双曲线x2=1(b0)的离心率,则b等于( )A2B3C4D5参考答案:B考点:双曲线的简单性质 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:由双曲线x2=1(b0)的离心率,可得a=1,c=,求出b,即可求出b的值解答:解:双曲线x2=1(b0)的离心率为,a=1,c=,b=3,故选:B点评:本题主要考查双曲线的简单性质的应用,属于基础题3. 若ABC的个顶点坐标A
2、(4,0)、B(4,0),ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为()AB(y0)C(y0)D(y0)参考答案:D【考点】与直线有关的动点轨迹方程;椭圆的标准方程【分析】由ABC的个顶点坐标A(4,0)、B(4,0),ABC的周长为18,得顶点C到A、B的距离和为定值108,由椭圆定义可知,顶点C的轨迹为椭圆,且求得椭圆的长轴长及焦距,则答案可求【解答】解:A(4,0)、B(4,0),|AB|=8,又ABC的周长为18,|BC|+|AC|=10顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆,则a=5,c=4,b2=a2c2=2516=9,顶点C的轨迹方程为故选:D4. 已知角的终边经过点(4,3),则
3、cos=()ABCD参考答案:D【考点】任意角的三角函数的定义【专题】三角函数的求值【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值【解答】解:角的终边经过点(4,3),x=4,y=3,r=5cos=,故选:D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题5. 已知是双曲线的左右焦点,P是双曲线右支上一点,M是的中点 , 若|OM|=1,则|是( )A10 B 8 C 6 D4参考答案:A略6. 已知,则( )A. B. C. D. 参考答案:A【分析】由题意可求出的值,再由三角函数同角基本关系式解出,即可。【详解】,且,或.不妨设, ,.由解得.故选
4、A.【点睛】本题主要考查两角和正切公式,以及同角三角函数关系式的应用。7. 若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D. 参考答案:C略8. 下列选项中,说法正确的是( )A“”的否定是“”B若向量满足,则与的夹角为钝角C若,则D命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件参考答案:D9. 命题:函数的图像必过定点;命题:如果函数的图像关于点对称,那么函数的图像关于原点对称,则 ( )A. 为真; B. 为假;C. 真假; D. 假真。参考答案:A略10. 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,A、B是椭圆的顶点,P是椭
5、圆上一点,且PF1x轴,PF2AB,则此椭圆的离心率是()ABCD参考答案:B【考点】椭圆的简单性质【分析】由PF1x轴,先求出点P的坐标,再由PF2AB,能得到b=2c,由此能求出椭圆的离心率【解答】解:如图,PF1x轴,点P的坐标(c,),kAB=, =,PF2AB,kAB=,即=,整理,得b=2c,a2=b2+c2=5c2,即a=c,e=故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒豆子落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 。参考答案:0.1812. 命题P:关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对xR
6、恒成立;命题Q:f(x)=(13aa2)x是减函数.若命题PVQ为真命题,则实数a的取值范围是_.参考答案:略13. 双曲线的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为 若点P在椭圆上,F1、F2分别是椭圆的两焦点,且F1PF2=90o,则F1PF2的面积是 参考答案:略14. 方程恒有实数解,则实数的取值范围是_ _参考答案:【知识点】二次函数的图象与性质【答案解析】解析:解:由得,因为,所以若方程有实数解,则m的范围是【思路点拨】一般遇到方程有实数解问题,可通过分离参数法转化为求函数的值域问题进行解答.15. 已知结论:“在正三角形中,若是边的中点,是三角形的重心,则”.若把该结论推广到空
7、间,则有结论:“在棱长都相等的四面体中,若的中心为,四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”,则= .参考答案:316. 在ABC中,若sin Asin Bsin C234,则最大角的余弦值_ 参考答案:略17. 求和: _.参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (13分)已知F1为椭圆+=1的左焦点,过F1的直线l与椭圆交于两点P,Q()若直线l的倾斜角为45,求|PQ|;()设直线l的斜率为k(k0),点P关于原点的对称点为P,点Q关于x轴的对称点为Q,PQ所在直线的斜率为k若|k|=2,求k的值参考答案:【考点】椭圆的简单性质【分
8、析】()直线l的倾斜角为45,直线l的方程为y=x+1,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|;()设直线l:y=k(x+1),代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k丨=丨丨=丨丨=2,即可求得k的值【解答】解:()椭圆+=1,a=2,b=,c=1,椭圆的左焦点F1(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),又直线l的倾斜角为45,直线l的方程为y=x+1,(1分)由,整理得:7x2+8x8=0,(3分)则x1+x2=,x1?x2=(4分)丨PQ丨=?=?=,|PQ|=;()由,整理得:(3+4k2)x2+8k2x+4k212=0,(6分)则x1+x2=,x1?x
9、2=,(8分)依题意P(x1,y1),Q(x2,y2),且y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),丨k丨=丨丨=丨丨,(10分)其中丨x1x2丨=,(11分)丨k丨=丨丨=2(12分)解得:7k2=9,k=,k的值(13分)【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦长公式及直线的斜率公式的应用,考查计算能力,属于中档题19. 已知ABC三个顶点的坐标分别是.若ABC在矩阵对应的变换T作用下变为A1B1C1,其中点变为点.求A1B1C1的面积.参考答案:1【分析】先由题意求出,得到矩阵,从而求出在变换作用下的坐标,进而可得出三角形的面积.【详解】由题意知,即,解得
10、所以, 因此在变换作用下变为,,所以,故的面积为1.【点睛】本题主要考查矩阵变换以及三角形的面积,熟记矩阵变换的运算法则即可,属于常考题型.20. 设 (I)若的极小值为1,求实数a的值;(II)当时,记,是否存在整数,使得关于x的不等式有解?若存在求出的最小值,若不存在,说明理由.参考答案:(I);(II)【分析】(I)求出的定义域以及导数,讨论的范围,求出单调区间,再结合的极小值为1,即可求得实数a的值;(II)求出的定义域以及导数,利用导数研究最小值的范围,即可求出。【详解】(I)时,故在上单增,故无极小值。时,故在上单减,在上单增,故.故(II)当时, 由于在上单增,且故唯一存在使得,
11、即故在上单减,在上单增,故又 且在上单增,故,即依题意:有解,故,又,故【点睛】本题考查已知极值求参数,利用导数研究函数单调区间以及最值,综合性强,属于中档题。21. 已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb,(1)求a,b;(2)解不等式ax2(ac+b)x+bc0参考答案:【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题;分类讨论【分析】(1)一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根,再利用一元二次方程根与系数的关系解出a,b(2)先把一元二次不等式变形到(x2)(xc)0,分当c2时、当c2时、当c=2时,三种情况求出此不等式的解集【解答】解:(1)因为不等式ax23x+64的
12、解集为x|x1或xb,所以x1=1与x2=b是方程ax23x+2=0的两个实数根,且b1由根与系的关系得,解得,所以得(2)由于a=1且 b=2,所以不等式ax2(ac+b)x+bc0,即x2(2+c)x+2c0,即(x2)(xc)0当c2时,不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc;当c2时,不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式(x2)(xc)0的解集为?综上所述:当c2时,不等式ax2(ac+b)x+bc0的解集为x|2xc;当c2时,不等式ax2(ac+b)x+bc0的解集为x|cx2;当c=2时,不等式ax2(ac+b)x+bc0的解集为?【点评】本题考查一
13、元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题22. 过抛物线y2=2Px(P0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=a作垂线,垂足分别为M1,N1(1)当a=时,求证:AM1AN1;(2)记AMM1,AM1N1,ANN1的面积分别为S1,S2,S3,是否存在,使得对任意的a0,均有S22=S1?S3成立,若存在,求出的值;若不存在,说明理由参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质【分析】(1)当a=时,如图所示,设M,N则,由题意可设直线MN的方程为my+=x,与抛物线方程联立得到根与系数的关系只要证明=0即可(2)假设存在,使得对任意的a0,均有 S22=S1?S3成立设M,N则M1(a,y1),N1(a,y2),不妨设y10设直线MN:my+a=x,与抛物线方程联立得到根与系数的关系,用坐标分别表示S1,S2,S3利用 S22=S1?S3成立即可得