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1、山西省晋中市洪水中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥参考答案：C2. 已知，则是成立的 ( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件参考答案：A3. 一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x=（ ）A. 21B. 15C. 22D. 35参考答案：A【分析】数据的个数为偶数个，则中位数为中间两
2、个数的平均数.【详解】因为数据有8个，所以中位数为：，所以解得：，故选：A.【点睛】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数.4. 已知向量a(1，1)，b(1,2)，向量c满足(cb)a，(ca)b，则c()A (0，1) B(1,0)C. D (2,1) 参考答案：D5. 在各项均不为零的等差数列中，为其前n项和，若，则等于 A、0 B、2 C、2010 D、4020参考答案：D6. 函数和在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）参考答案：D7. 已知椭圆E的
3、中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D12参考答案：B【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得y=3，所以A（2，3），B（2，3）|AB|=6故选：B8. 点到圆上的点的最短距离是
4、A B C D 参考答案：B略9. 定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)x，h(x)ln(x1)，(x)x31的“新驻点”分别为，则，的大小关系为()A B C D参考答案：C略10. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与底面ABCD所成的角的正切等于（ ）A1 B C D 参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则a的取值范围是 . 参考答案：(2,2)令，得，可得极大值为，极小值为. 12. 复数在复平面内所对应的点位于_象限参考答案：2象限略13. 已知，且，则
5、x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_参考答案：x，y均不大于1（或者且）【分析】假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.【详解】x，y中至少有一个大于1，其否定为x，y均不大于1，即x1且y1，故答案为：x1且y1【点睛】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题14. 在的展开式中，的系数为_(用数字作答)参考答案：7试题分析：由条件易知展开式中项的系数分别是，即所求系数是考点：二项式定理15. 已知直线与圆相交于两点，且，则 参考答案：略16. 若复数z满足（i为虚数单位），则Z的共轭复数_参考答案：【分析】先由复数的除法运算，求出复数，进而可得出其共轭复数
6、.【详解】因为，所以，因此其共轭复数为故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型.17. 对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在数列中,已知.（）求数列的通项公式;（）求证:数列是等差数列;（)设数列满足,求的前n项和.参考答案：（）数列是首项为,公比为的等比数列,.（）.,公差d=3数列是首项,公差的等差数列.（）由（）知,（n）., 于是 两式-相减得=. .略19. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
7、点M在AD1上移动，点N在BD上移动，连接MN.（1）证明：对任意，总有MN平面DCC1D1；（2）当MN的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值。参考答案：（1）见解析；（2）【分析】作，交于点，作，交于点，连接.通过证明四边形为平行四边形,可得,再根据直线与平面平行的判断定理可证.(2)根据题意计算得 ,再配方可得取最小值时 分别为的中点,再取 为 , 连接，,可得是二面角的平面角,再计算可得.【详解】（1）证明：如图，作，交于点，作，交于点，连接.由题意得，且，则四边形为平行四边形.又，.（2）由（1）知四边形为平行四边形，.，.，.即，故当时，的长度有最小值。分别取，的中点、，连接，。易
8、知，故是二面角的平面角在中，。所以.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,以及二面角,属中档题.20. 从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组（1）若选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选，求共有多少种不同的选法；（2）记“男生甲和女生乙不同时入选”为事件A，求A发生的概率参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】（1）利用排列组合和乘法原理能求出选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选，共有多少种不同的选法（2）记“男生甲和女生乙不同时入选”为事件A，则表示“男生甲和女生乙同时入选”，利用对立事件概率计算公式能求出事件A发生的概率【解答】解：（1）从9人中任选5人，
9、基本事件总数n=126，选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选包含的基本事件总数m=36，选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选，共有36种不同的选法（2）记“男生甲和女生乙不同时入选”为事件A，则表示“男生甲和女生乙同时入选”，P（）=，A发生的概率P（A）=1P（）=1【点评】本题考查排列组合的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用21. （13分）已知函数,其中,为常数(1)若在x1，)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是的极值点，求在x1，a上的最大值。参考答案：（1）由题意知对恒成立，即 又，所以恒成立即恒成立 ， ，所以（2）
10、依题意即，解得此时，易知时，原函数递增，时，原函数递减；所以最大值为22. （16分）已知函数f（x）=ex，g（x）=x2+2xaf（x）（aR），x1，x2是两个任意实数且x1x2（1）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）若函数g（x）在R上是增函数，求a的取值范围；（3）求证：f()参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），从而求出过（0，1）的切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，分离参数，问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）不妨设x1x2，只需证明（t0），只需证明2t
11、ete2t1对t0恒成立，设h（t）=e2t2tet1，根据函数的单调性求出h（t）的最小值，证明即可【解答】解：（1）因为f（x）=ex，（1分）则切线的斜率为f（0）=1，切点为（0，1），所以函数f（x）的图象在x=0处切线方程为y=x+1； （2）由g（x）=x2+2xaex得g（x）=2x+2aex，因为函数在实数集上是增函数，所以g（x）=2x+2aex0恒成立，则恒成立，令，由得x=2，（7分）当x（，2）时，h（x）0，函数h（x）递减；当x（2，+）时，h（x）0，函数h（x）递增；所以当x=2时，函数，故实数a的取值范围是（9分）（3）要证明，即证明，只需证明，不妨设x1x2，只需证明（t0），只需证明2tete2t1对t0恒成立，（11分）设h（t）=e2t2tet1，则h（t）=（et?et）2tet2et=2e2t2tet2et=2et（ett1），设（t）=ett1，当t0时（t）=et10恒成立，则（t）递增，（t）（0）=0，即h（t）0，（13分）则h（t）0，故函数h（t）递增，有h（t）h（0）=0恒成立，即2tete2t1对t0恒成立，所以，即（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，渗透换元思想、分类讨论思想，是一道综合题
