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1、福建省福州市闽清县高级中学高一数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由正切函数对称中心可以得到，从而解出满足条件的对称中心.【详解】由正切函数的对称中心可以推出对称中心的横坐标满足，带入四个选项中可知，当时，.故是图像的一个对称中心，选A.【点睛】正切函数对称中心为，正弦函数的对称中心为，余弦函数的对称中心为，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.2. 在各项均为正数的等比数列an中，a
2、3a54，则数列log2an的前7项和等于()A7 B8 C27 D28参考答案：A 3. 平面向量a与b的夹角为60,且a(2，0)，|b|1，则|a2b| A4 B C D12参考答案：C4. 已知A（0，2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，且f（x）是R上的增函数，则|f（x）|2的解集为（）A（1，4）B（1，2）C（0，3）D（3，4）参考答案：C【考点】函数单调性的性质【分析】由条件利用函数的单调性的性质，求得|f（x）|2的解集【解答】解：A（0，2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，且f（x）是R上的增函数，当x0，3时，2f（x）2，即|f（x）|2，故不等
3、式|f（x）|2的解集为（0，3），故选：C5. 关于函数f（x）=sin2x（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）f（x）是奇函数 当x2003时，f（x）恒成立 f（x）的最大值是f（x）的最小值是A1 B2 C3 D4参考答案：解析：A 显然f（x）为偶函数，结论错对于结论，当x=1000时，x2003，sin21000=0，f（1000）=（）1000，因此结论错又f（x）=（）|x|+=1cos2x（）|x|，1cos2x1，1cos2x故1cos2x（）|x|，即结论错而cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，所以f（x）=1cos2x（）|x|在x=0时
4、可取得最小值，即结论是正确的6. 已知点M是直线与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45,得到的直线方程是( )A.B.C.D.参考答案：D直线与x轴的交点为，设直线的倾斜角为，则， ，把直线绕点M按逆时针方向旋转45，得到直线的方程是，化为，故选D.7. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B，故零点在区间.8. 函数的值域为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：C略9. （4分）若当xR时，y=均有意义，则函数的图象大致是（）ABCD参考答案：B考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由对数函数的定义知a0且a1，函数的定义域为（，0）（0，+）
5、由xAB=4，3，1时，y=均有意义，则，推出0a1，再把函数表达式中的绝对值去掉，再讨论函数的单调性解答：由对数函数的定义知a0且a1，函数的定义域为（，0）（0，+）若当xAB=4，3，1时，y=均有意义，则，0a1，又x0时，单调递减，y=logau单调递减，由复合函数的单调性知单调递增，为偶函数，其图象应关于y轴对称，x0时，单调递减，综上知，选项B符合，故选：B点评：本题主要考查函数的性质，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，其中还应用了复合函数单调性的判断，较为综合10. 实数满足，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,
6、共28分11. 设，且当x（，1时f（x）有意义，则实数a的取值范围是 .参考答案：（，+） 12. 计算：_。参考答案：213. 已知数列是等差数列，若a n a 2 n + a 2 n a 3 n + a 3 n a n = arcsin，a n a 2 n a 3 n = arccos ( )（n为正整数），则a 2 n的值是 。参考答案：1214. 若不等式0x2ax+a1，只有唯一解，则实数a的值为 参考答案：2【考点】一元二次不等式的解法【分析】结合二次函数的性质知，不等式0x2ax+a1有唯一解可化为x2ax+a=1有唯一解，从而解得【解答】解：不等式0x2ax+a1有唯一解，x
7、2ax+a=1有唯一解，即=a24（a1）=0；即a24a+4=0，解得，a=2，故答案为：215. 已知函数和g（x）=3sinx，若，则两函数图象交点的横坐标之和等于参考答案：3【考点】对数函数的图象与性质【分析】在同一坐标系中，作出函数的图象，由对称性可得答案【解答】解：在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：两图象都关于直线x=对称，共有3组对称点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为3，故答案为：316. 集合，其中,若中有且仅有一个元素，则的值是参考答案：略17. 函数 的最小正周期为 ，则 _.参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明
8、过程或演算步骤18. 已知集合，若求实数的取值范围参考答案：解析： 若 则 此时符合题意 若 则 此时不符合题意 若 则 此时不符合题意 综上所述：19. (本题满分10分)已知， ，求的值参考答案：由已知得， ，由，又 ， .20. （本小题满分12分）、设函数.（1）若对于一切实数恒成立，求m的取值范围；（2）对于，恒成立，求m的取值范围参考答案：解：（1）要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意； 2分若m0，则?4m0. 4分 实数m的范围4m0. 6分 （2）方法1 当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m . 10分
9、 函数y在1,3上的最小值为，只需m即可综上所述，m的取值范围是. 12分 方法2要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使mm60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m； 9分 当m0时，60恒成立； 10分 当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0. 11分综上所述，m的取值范围是. 12分 21. 一个容量为M的样本数据，其频率分布表如下。（1）求a,b的值，并画出频率分布直方图；（答案写在答题卡上）（2）用频率分布直方图，求出总体的众数、中位数及平均数的估计值。 分组频数频率频率/组距(10,2020.100.010(
10、20,3030.150.015(30,4040.200.020(40,50ab0.025(50,6040.200.020(60,7020.100.010参考答案：略22. 函数f（x）的定义域为（0，+）且对一切x0，y0，都有=f（x）f（y），当x1时，有f（x）0（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）f参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质【分析】（1）由条件只要令x=y=1，即可得到f（1）=0；（2）令0x1x2，则1，当x1时，有f（x）0f（）0，再由条件即可得到单调性；（3）由f（
11、6）=1，求出f（36）=2f（6）=2，f（x+5）f即ff（36），再运用单调性，即可得到不等式，解出即可【解答】解：（1）对一切x0，y0，都有=f（x）f（y），令x=y=1则f（1）=f（1）f（1）=0；（2）f（x）在定义域（0，+）上是增函数理由如下：令0x1x2，则1，当x1时，有f（x）0f（）0，即f（x2）f（x1）0，即f（x2）f（x1），则f（x）在定义域（0，+）上递增；（3）若f（6）=1，则f（6）=f（）=f（36）f（6），f（36）=2f（6）=2，f（x+5）f即ff（36），f（x）在定义域（0，+）上是增函数，0x（x+5）36，x0且9x4，0x4故原不等式的解集为（0，4）【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的证明，以及单调性的运用，注意定义域，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题
