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1、浙江省宁波市慈溪育才中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是A8 cm3B12 cm3 C. cm3 D. cm3参考答案：C2. 等于 （ ）A B C D参考答案：D略3. 若二项式()展开式的常数项为20，则的值为 A. B. C. D. 参考答案：B4. 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )ABC2D4参考答案：A【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；待定系数法【分析】根据题意，求出长半轴和短
2、半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，故选 A【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值5. 若三点共线 则的值为（） 参考答案：A6. 对于R上可导的任意函数f（x），且若满足（x1）0，则必有 （ ）A、f（0）f（2）2f（1） D、f（0）f（2）32f（1）参考答案：C略7. 直线在轴上的截距是（ ）A B C D参考答案：B解析： 令则8. 设等比数列an的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2,则S15：S5等于（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.3：4 B2：3 C
3、1：2 D1：3参考答案：A9. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 A. B. C. D. 参考答案：B略10. 若，则和是的 （ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分有必要条件参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若，则_.参考答案：8【分析】先根据求出，再解方程组求出a,b的值得解.【详解】由题得，所以或，因为，所以.因为，所以.所以b=2，所以ab=8.故答案为：8【点睛】本题主要考查对数运算和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12. 抛物线的准线方程是 . 参考答案：略13.
4、 若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 参考答案：3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+20=3故答案为：314. 已知直线 若，则实数 ；若，则实数 参考答案： 15. 已知数列an，“对任意的nN*，点Pn(n，an)都在直线y3x2上”是“an为等差数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A略16. 过抛物线
5、y2=2px（p0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=1相切，则抛物线的方程为参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=2，即可求抛物线的标准方程【解答】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x=1，=1
6、，p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x故答案为：y2=4x17. 某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是_.参考答案：30.8.【分析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为，方差为故答案为：30.8【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算读懂茎叶图是解题基础三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （）若， ，求证： ；（）证明： 参考答案：（）证明，（）证明：要证成立，只需证， 即证，只需证，即证显然为真，故原式成立.
7、 19. （本小题满分10分） 如图，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC，ABDC， DCDD12AD2AB2.(1)求证：DB平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E平面A1BD，并说明理由参考答案：(1)证明：ABDC，ADDC，ABAD，在RtABD中，ABAD1，BD，易求BC，又CD2，BDBC.又BDBB1，B1BBCB，BD平面B1BCC1. (2)DC的中点即为E点DEAB，DEAB，四边形ABED是平行四边形AD綊BE.又AD綊A1D1，BE綊A1D1，四边形A1D1EB是平行四边形D1EA1B.D1E?平面A1BD，D1E平面A1
8、BD.20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；当A、B运动时，满足于APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.参考答案：1）;2）（1）;(2)直线的斜率是一个定值.【分析】(1)根据抛物线焦点，求得b，再由离心率和椭圆中a、b、c的关系求得a、c的值，进而得到椭圆的标准方程。(2)设出A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2
9、-4；由直线x=2与椭圆交于P,Q两点可求得P,Q两点的坐标，则四边形APBQ的面积S=SAPQ+SBPQ，即可得到面积的最大值；设出直线方程，联立椭圆方程，化简得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到AB斜率的表达形式，即可得到斜率为定值。【详解】(1)设椭圆C的方程为=1(ab0),由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点(0,),b=.再根据离心率,求得a=2,椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y=x+t,代入椭圆C的方程化简可得x2+2tx+2t2-4=0,由=4t2-4(2t2-4)0,求得-2t2.由根与系数的关系可得x1+x2
10、=-2t,x1x2=2t2-4.在=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),四边形APBQ的面积S=SAPQ+SBPQ=PQ|x1-x2|=2|x1-x2|=|x1-x2|=,故当t=0时,四边形APBQ的面积S取得最大值为4.当APQ=BPQ时,PA,PB的斜率之和等于零,设PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆C的方程化简可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,x2+2=.同理可得直线PB的方程为y-1=-k(x-2),x2+2=,x1+x2=,x1-x2=.AB的斜率k=.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置
11、关系，四边形面积的最值问题，直线斜率的定值问题，综合性强，是高考的常考点和难点，属于难题。21. （本题满分10分）已知数列的前项和为，且 (1) 证明：是等比数列；(2) 求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.参考答案：（1）当时，即又当n=1时, ，解得，则.是首项为-12，公比为的等比数列（2） ，由得，即即：，解得使得成立的最小正整数22. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=（）证明：a、c、b成等差数列；（）求cosC的最小值参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（） 由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差数列； （）由余弦定理及a+b=2c，可得，利用基本不等式可得，进而可解得cosC的最小值【解答】（本题满分为12分）解：（）2（tanA+tanB）=，=，即2sin（A+B）=sinA+sinB，又A+B=C，2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得，2c=a+b所以，a、c、b成等差数列； （）由余弦定理得，a+b=2c，又，即所以cosC的最小值为
