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1、湖北省武汉市第二十中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MN=Q，MN=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N
2、）,下列选项中，不可能成 立的是（ ） AM没有最大元素，N有一个最小元素 BM没有最大元素，N也没有最小元素 CM有一个最大元素，N有一个最小元素 DM有一个最大元素，N没有最小元素参考答案：C2. “更相减损术”是出自九章算术的一种求最大公约数的算法，如框图中若输入的a、b分别为198、90，则输出的i为（）A3B4C5D6参考答案：D【考点】程序框图【分析】由题中程序框图知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由程序框图可知：当a=198，b=90时，满足ab，则a=19890=108，i=1由ab，则a=
3、10890=18，i=2由ab，则b=9018=72，i=3由ab，则b=7218=54，i=4由ab，则b=5418=36，i=5由ab，则b=3618=18，i=6由a=b=6，输出i=6故选：D3. 中,角、的对边分别为、,若，则的形状为 （ ）A直角三角形 B等腰非等边三角形 C等边三角形 D钝角三角形参考答案：C4. 函数，则 参考答案：5. 已知等比数列an的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则an的前8项和为（）A127B255C511D1023参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方
4、程2a6 =2a4 +48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案【解答】解：2a4、a6、48成等差数列，2a6 =2a4 +48，2a1q5=2a1q3+48，又等比数列an的公比q=2，解得，a1=1，an的前8项和为故选B【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式属于基础题6. 在等差数列中，则数列的前11项和等于 A B C D参考答案：D7. 已知等比数列an为递增数列，其前n项和为Sn若S3=7，a2=2， 则 a3 +a4 +a5= (A) (B (C) 28 (D) 56参考答案：C8. 设是不同
5、的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则参考答案：CC中，当，所以，或当，所以，所以正确。9. 在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）A.45 B.60 C.120 D. 210参考答案：C10. 设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（） A B是的极小值点 C是的极小值点 D.是的极小值点参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于x的方程2x=只有正实数的解，则a的取值范围是。参考答案：a212. 若抛物线的准线经过双曲线的左顶点，则_.参考答案：2 略13. 一次研究性课堂上，老师给出函数(xR)，四
6、位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f(x)的值域为（1，1）；乙：若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)；丙：若规定，对任意N*恒成立；丁：函数在上有三个零点。上述四个命题中你认为正确的是_（用甲、乙、丙、丁作答）。参考答案：甲、乙、丙 14. 在ABC中，当角A最大时，则ABC的面积为 参考答案：315. 已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_参考答案：略16. 设奇函数的定义域为R，且周期为5，若1，则实数的取值范围是 .参考答案：17. 已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图
7、象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知向量，当时，求的值；设函数，已知在中，内角、的对边分别为、若，求（）的取值范围参考答案：19. 选修4-4：极坐标与参数方程已知在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线：与曲线C交于P，Q两点，求的值.参考答案：解：（1）因为直线：，故，即直线的直角坐标方程：；3因为曲线：，则曲线直角坐标方程：.5（2）设直线参
8、数方程为将其带入曲线的直角坐标系方程得，设对应的参数分别为则8.1020. （本题满分15分）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足（）求数列和的通项公式；（）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由参考答案：（）设的公比为，则有或（舍）.则， . 即数列和的通项公式为，. （），令,所以 , 如果 是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以. 当或时,不合题意; 当或时,符合题意. 所以,当或时,即或时,是数列中的项. 21. （15分）ABC中，角A的对边长等于2，向量m=，向量n=.（1）求mn取得最大值时的角A； （2）在（1）的条件
9、下，求ABC面积的最大值.参考答案：解析：（1）mn2. 3分因为 ABC，所以BCA，于是mncosA22.5分因为，所以当且仅当，即A时，mn取得最大值.故mn取得最大值时的角A. 7分（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得 b2c2a22bccosA， 9分即bc4b2c22bc， 11分所以bc4，当且仅当bc2时取等号. 12分又SABCbcsinAbc.当且仅当abc2时，ABC的面积最大为. 15分22. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADC=BCD=90，BC=2，PD=4，PDA=60，且平面PAD平面ABCD（）求证：ADPB；
10、（）在线段PA上是否存在一点M，使二面角MBCD的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）过B作BOCD，交AD于O，连接OP，则ADOB，由勾股定理得出ADOP，故而AD平面OPB，于是ADPB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos|=cos解出n，从而得出的值【解答】证明：（I）过B作BOCD，交AD于O，连接OPADBC，ADC=BCD=90，CDOB四边形OBCD是矩形，OBADOD=BC=2，PD=4，PDA=60，OP=2OP
11、2+OD2=PD2，OPOD又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OPOB=O，AD平面OPB，PB?平面OPB，ADPB（II）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，OAAD，OP平面ABCD以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，0），C（2，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角MBCD的大小为，则=（m，n），=（2，0，0）设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，令y=1得=（0，1，）OP平面ABCD，=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量cos=解得n=1=【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题
