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1、重庆古楼中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是()A6+2B7+2C6+4D7+4参考答案:D【考点】基本不等式;对数的运算性质【分析】利用对数的运算法则可得0,a4,再利用基本不等式即可得出【解答】解:3a+4b0,ab0,a0b0log4(3a+4b)=log2,log4(3a+4b)=log4(ab)3a+4b=ab,a4,a0b00,a4,则a+b=a+=a+=a+3+=(a4)+7+7=4+7,当且仅当a=4+2取等号故选:D2.
2、对于集合M、N,定义MNx|xM且x?N,MN(MN)(NM),设Ay|y3x,xR,By|y(x1)22,xR,则AB等于 ()A0,2) B(0,2C(,0(2,) D(,0)2,)参考答案:C3. 实数x,y满足,若z=2x+y的最大值为9,则实数m的值为()A1B2C3D4参考答案:A【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,建立方程关系进行求解即可【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)由z=2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z,由图象可知当直线y=2x+z经过点B时,直线y=2x+z的截距最大,此时z最大,此
3、时2x+y=9由,解得,即B(4,1),B在直线y=m上,m=1,故选:A4. 已知向量a(1,2),b(2,3)若向量c满足(ca)b,c(ab),则c()A.B. C. D.参考答案:D略5. 已知点,点的坐标x,y满足,则的最小值为( )A B0 C D8参考答案:A画出出可行域如图所示, ,表示点到可行域的距离的平方减去8的最小值,到可行域的最小距离即为到直线 ,则的最小值为 故选A.6. 一个几何体的三视图如图1所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆,则这个几何体的体积是( )A B C D参考答案:B略7. 某一简单几何体的三视图如所示,该几何体的外接球的表面积是()A13B16C
4、25D27参考答案:C【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何【分析】几何体为底面为正方形的长方体,底面对角线为4,高为3则长方体的对角线为外接球的直径【解答】解:几何体为底面为正方形的长方体,底面对角线为4,高为3,长方体底面边长为2则长方体外接球半径为r,则2r=5r=长方体外接球的表面积S=4r2=25故选C【点评】本题考查了长方体的三视图,长方体与外接球的关系,属于中档题8. 平面内的动点(x,y)满足约束条件 ,则z=2x+y的取值范围是()A(,+)B(,4C4,+)D2,2参考答案:B【考点】简单线性规划【分析】画出满足约束条件的平面区域,求出可
5、行域各角点的坐标,然后利用角点法,求出目标函数的最大值和最小值,即可得到目标函数的取值范围【解答】解:满足约束条件的平面区域如下图所示:由图可知解得A(1,2)当x=1,y=2时,目标函数z=2x+y有最大值4故目标函数z=2x+y的值域为(,4故选:B9. 设Sn为等差数列an的前n项和,a1=2,S3=0,则an的公差为()A1B2C3D4参考答案:B【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的前n项和公式求解【解答】解:Sn为等差数列an的前n项和,a1=2,S3=0,解得d=2,an的公差为2故选:B10. 若x,y是正数,则的最小值是 ( ) A3 B C4 D参考答案:答案:C
6、二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于函数 定义域中任意的(),有如下结论:; ;0;.当时,上述结论中正确结论的序号是 参考答案:12. 设数列an的前n项和为Sn,若a1=1,Sn=0(nN*),则an的通项公式为an= 参考答案:考点:数列的求和 专题:等差数列与等比数列分析:当n2时,an=SnSn1,利用等比数列的通项公式即可得出解答:解:当n2时,an=SnSn1=an,化为an+1=3ana1a2=0,解得a2=2当n2时,数列an为等比数列,an的通项公式为an=故答案为:an=点评:本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式,属于基础题13. 若点在直
7、线上,则 .参考答案:-2 略14. 如果参考答案:15. 若方程在区间,且上有一实根,则的值为-( )A BC D参考答案:C16. 已知圆锥的体积为cm3,底面积为cm2,则该圆锥的母线长为 cm.参考答案:517. 的展开式中的系数是 参考答案:答案:24 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题12分)设数列是等差数列,数列的前项和满足且()求数列和的通项公式:()设为数列的前项和,求参考答案:【知识点】通项公式,数列求和.D1,D4【答案解析】(I) (II) 解析:解(I)由即,又(),所以数列其前项和,. (12分)【思路点拨
8、】利用前n项和与通项的关系可求出通项公式,第二步可利用分组求和法求解.19. 已知椭圆的离心率为,且点在椭圆C上()求椭圆C的标准方程;()若斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,求OAB面积的最大值参考答案:【考点】K4:椭圆的简单性质【分析】()由椭圆的离心率公式求得a2=4b2,将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;()设直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求得|x1x2|,则OAB的面积S=|m|x1x2|,利用基本不等式的性质,即可求得OAB面积的最大值【解答】解:()由已知得e=,a2=4b2,将代入椭圆方程:,解得a2=4,b2=1,椭圆C的方程是;()设直线l
9、的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m216=0,由0,可得m24+16k2,则有x1+x2=,x1x2=|x1x2|=由直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),OAB的面积S=|m|x1x2|=设=t,由可知0t4,因此S=22=4,故S4,当且仅当4t=t,即t=2时取得最大值4OAB面积的最大值为420. (12分)已知函数(,).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当时,求k的取值范围.参考答案:解:(1)-1分若,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减-3分若,当时,在上单调递减;当时,在
10、上单调递增当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增-5分(2)(),当时,上不等式成立,满足题设条件;-6分当时,等价于,设,则,设(),则,在上单调递减,得-9分当,即时,得,在上单调递减,得,满足题设条件;-10分当,即时,而,又单调递减,当,得,在上单调递增,得,不满足题设条件;综上所述,或-12分21. 已知椭圆C: +=1(ab0)的离心率为,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴相交于定点
11、参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程【专题】计算题;分类讨论;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】(1)利用椭圆的离心率e,以及圆心(0,0)到直线xy+的距离求出a,b,即可求解椭圆的方程(2)设直线PB的方程为y=k(x4)联立,设点B(x1,y1),E(x2,y2),通过韦达定理求出直线方程,即可求出定点坐标【解答】解:(1)由题意知e=,=,即a2=(2分)又圆心(0,0)到直线xy+的距离为,b=a=2,故椭圆的方程为:(4分)(2)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x4)联立,得(4k2+3)x232k2x+64k212=0(6分)设点B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,y1),直线AE的方程为令y=0,得x=,(8分)再将y1=k(x14),y2=k(x24)代入整理得x=(10分)由得x1+x2=,x1x2=,代入整理得x=1,所以直线AE与x轴相交于定点(1,0)(12分)【点评】本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用,椭圆的标准方程的求法,考查分析问题解决问题的能力22. 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=2,c=4,sinA=2sinB()求ABC的面积;()求sin(2AB)参考答案:【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用【分析】解法