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1、湖南省娄底市沙塘中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）A B C D参考答案：C2. 已知函数若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为A.(-,0 B.0,1) C.(-,1) D.0,+)参考答案：C3. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A函数的最小正周期为 B函数的最大值为1C将函数的图象向右平移单位后得的图象D将函数的图象向左平移单位后得的图象参考答案：C略4. 设，集合，则下列结论正确的是（ ）A
2、 B C D 参考答案：D5. （05年全国卷）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则（ ）A 6E B 72 C 5F D B0参考答案：答案：A6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（ ）A. B. C. 2D. 2参考答案：B【分析】首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽
3、高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径.【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图，其中，PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥所在的外接球即为以PA，PB，PC为长宽高的长方体的外接球，又PA=，PB=2，PC=，则外接球半径.故选：B.【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题.7. 执行如右图所示的程序框图，则输出的s的值是A7 B6 C5 D3参考答案：B8. 已知f（x+1）为偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴是（）Ax=1Bx=Cx=Dx=1参考答案：B【考点】函数奇偶性
4、的性质【分析】根据复合函数的对称性，由f（x+1）是偶函数，故函数f（x+1）的图象关于Y轴对称，此时x=0，括号内x+1=1，故y=f（2x）的图象的对称轴依然要保证括号内的整体2x=1，即x=【解答】解：f（x+1）是偶函数，函数f（x+1）的图象关于y轴对称，函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数f（2x）的图象关于直线x=对称，故选B9. 设集合，集合，则()A B C D参考答案：【知识点】集合的基本运算.A1 【答案解析】A 解析：由，解得，所以，又，所以，故选A.【思路点拨】先解出集合A,B，再求交集即可。10. 已知F是抛物线的焦点，A,B是该抛物线上的两点，则线段AB的中
5、点到x轴的距离为ABC1D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 . 参考答案：（,-1） 12. （几何证明选讲选做题）如图，是的高，是外接圆的直径，若，则 参考答案：试题分析：连接 ，则 而考点：圆周角13. 设数列an的前n项和为Sn，若（nN*），则= 参考答案：1【考点】8H：数列递推式【分析】利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出【解答】解：（nN*），n=1时，解得a1=n2时，an=SnSn1=1，化为： =数列a
6、n是等比数列，首项为，公比为=1故答案为：1【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14. 平行四边形中，为的中点若在平行四边形内部随机取一点，则点取自内部的概率为_参考答案：,根据几何概型可知点取自内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。15. 若的二项展开式中，所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项是_。参考答案： 略16. 参考答案： 17. 偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x2，则y=f（x）的解析式为 参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；
7、函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题【分析】先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出e，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可【解答】解：f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象经过点（0，1），则e=1，偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e，故f（x）=f（x）恒成立，则b=d=0即f（x）=ax4+cx2+ef（x）=4ax3+2cx，k=f（1）=4a+2c=1切点为（1，1），则f（x）=ax4+cx2+1的图象经过点（1，1），得a+c+1=1，得a=，c=f
8、（x）=2+1故答案为：f（x）=2+1【点评】本题考查偶函数的性质，导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知向量，.（）求证；（）若存在不等于0的实数k和t, 使，满足试求此时的最小值.参考答案：（）=cos() cos()+sin(+) sin()=sin cossincos =0.（）由得=0 即+(t2+3)(k+t)=0 k+(t3+3t)+tk(t2+3)=0 k|2+(t3+3t)|2=0 又|2=1，|
9、2=1k+ t3+3t=0k=t3+3t= =t2+t+3 =(t+)2+故当t=时，取得最小值，为.19. （本题满分13分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1(0，1)，且离心率e满足：，e，成等比数列(1)求椭圆方程；(2)直线过焦点F1 且与椭圆交于点两点， M(-1,2),若存在实数，使得,求直线的方程.参考答案： 9分. 10分解得k=111分当k不存在时，方程为x=0, ,当=0时也满足12分综上得方程为x=0或y=x+1 /13分20. （本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：某市201
10、2年3月8日4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如下条形图：（I）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（II）在上述30个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优的天数，求X的分布列和数学期望。参考答案：21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围参考答案：解：（1）椭圆C的方程为：（4分） （2）由题意知直线的斜率存在.设：，由得.，. ，.（6分），. （8分） 点在椭圆上，（10分） ,（1
11、2分） 22. 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率为0.25，在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 02345003求的值； 求随机变量的数学期量；试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。参考答案：(1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25, P(B)= q,.根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.（2）当=2时, P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m =0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24当=3时, P2 =0.01,当=4时, P3=0.48,当=5时, P4=0.24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
