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1、2022-2023学年湖南省永州市荒塘乡民族中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知A、B是椭圆：上的两点，且A、B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：D【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出、两点的坐标并写出的面积公式，再然后根据面积的最大值为2得出，最后根据基本不等式的相关性质以及即可得出结果。【详解】根据题意可画出图像，如图所示，因为、关于坐标原点对称，所以设、，因为，所
2、以，因为面积的最大值为2，所以当时面积取最大值，当且仅当时“”号成立，此时，故选D。【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题。2. 已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） 参考答案：C略3. 已知定义在复数集C上的函数满足，则等于A B0 C2 D参考答案：C4. 设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A B C D参考答案：D奇函数在上是增函数，又，从而有函数的图象如图，则有不等式的解集为解集为或，选D.5. 设命题p：，则为A. ，B. ，C. ，D.
3、 ，参考答案：D【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，则为：，.故本题答案为D.6. 若，则等于（ ）A B C D参考答案：A若，则 ,选A.7. 下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）Af（x）=x3Bf（x）=x1Cf（x）=log2xDf（x）=2x参考答案：A【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可【解答】解：Af（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件Bf（x）f（y）=x1（y1）=（xy）1，
4、f（xy）=（xy）1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立Cf（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立Df（xy）2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立故选：A【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键比较基础8. 函数f（x）=x2sin|x|在2，2上的图象大致为（）ABCD参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象【分析】求出函数f（x）=x2sinx在（0，2上导函数，求出极值点的个数，以及f（2）的值，即可判断函数的图象【解答】解：函数f（x）=x
5、2sin|x|在2，2是偶函数，则：f（x）=x2sinx在（0，2可得f（x）=2xcosx，令2xcosx=0，可得方程只有一个解，如图：可知f（x）=x2sinx在（0，2由一个极值点，排除A，C，f（2）=4sin23，排除D故选：B【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力9. 若是两条直线，平面，则“”是“”的（ ）.(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件参考答案：C【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面
6、的位置关系;方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件.【正确选项】C【试题分析】因为平面，若，则或，所以充分性不成立，若，则有，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案为C.10. 命题：的否定是A BC D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为_参考答案：12. 已知角的终边经过点，点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，则的值是 .参考答案：13. 已知函数对任意的恒成立，则 .参考答案：因为函数是奇函数，且在定义域上单调递增，所以
7、由得，即，所以，当时，不等式恒成立.当时，恒成立，此时，当时，恒成立，此时，即，综上.14. 已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径 参考答案：15. 已知向量=（1，1），=（2，x），在方向上的投影是，则实数x=参考答案：4【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积与向量投影的定义，列出方程求出x的值【解答】解：向量=（1，1），=（2，x），?=12+（1）x=2x；又|=，在方向上的投影为|?cos，=，解得x=4故答案为：4【点评】本题考查了平面向量的数量积运算与投影的定义，是基础题16. 已知正数满足，则的最大值为 .参考答案：17. 函数的定义域
8、为 。参考答案：【解析】由解得，的定义域为。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是 ，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为 ；（1）求 ；(2) 求证： 为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率。参考答案：（1） 3分(2)由题意知： 5分 是首项为公
9、比为的等比数列 8分（3）由（2）知 由累和得（过程略） 10分 所以玩该游戏获胜的概率为 12分略19. 如图，圆O的直径AB=10，弦DEAB于点H，BH=2（）求DE的长；（）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长参考答案：【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；推理和证明【分析】（）由已知中弦DEAB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH2=AH?BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长；（）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我们易得PC2=PD?PE，结合（）的结论和PC=2，代入即可求
10、出PD的长【解答】解：（）AB为圆O的直径，ABDE，DH=HE，DH2=AH?BH=（102）2=16，DH=4，DE=2DH=8；（）PC切圆O于点C，PC2=PD?PE，即（2）2=PD?（PD+8），PD=2【点评】本题考查的知识点是垂径定理，相交弦定理及切割线定理，分析已知线段与未知线段之间的位置关系，进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键20. （本小题满分12分） 已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为（）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值； （）设直线与、轴分别交于点，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论参考答案：（）；（），证明见解析.
11、令，得，令，得，为定值，定值是.考点：直线与圆锥曲线的综合应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质.【易错点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆与圆锥曲线的位置关系，椭圆的基本性质，综合性比较强，考查逻辑推理以及计算能力，是中档题. 圆锥曲线是高考的一个必考题，也是一个难点，尤其是圆锥曲线与直线的位置关系的考查是一个难点，要能从题找到等式或不等式，找到题中的形的关系，找到参数的关系.21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点. （）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并
12、说明理由.参考答案：（19）（）证明：连接，由条件可得. 因为平面，平面， 所以平面. -（4分）（）证明：由（）知，.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥的底面边长为2，则，.所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为， 则即 令，得. 易知是平面的法向量.因为，所以，所以平面平面. -（8分）（）解：设（），由（）可知，平面法向量为.因为，所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以，所以，解得.所以点是的中点. -（12分）略22. (本小题满分14分)（I） 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为 坐标原点, 求证: 为定值;（）由 （） 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.参考答案：解: (I) 若直线l垂直于x轴, 则, .2分若直线l不垂直于x轴, 设其方程为, .由4分.综上, 为定值. 6分(II) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. 7分证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中若直线l不垂直于x轴, 则设其方程为: , .由得: 9分由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为所以要使为定值,
