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1、浙江省湖州市德清县综合高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 对任意实数a,b定义运算如下,则函数 的值域为 ( )A. B. C. D. 参考答案:B略2. 已知圆锥的母线长为6,母线与轴的夹角为30,则此圆锥的体积为()A. 27B. C. 9D. 参考答案:B【分析】根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高,代入体积公式求得结果.【详解】由题意可知,底面半径;圆锥的高圆锥体积本题正确选项:B【点睛】本题考查锥体体积的求解问题,属于基础题.3. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均
2、相等,那么这个几何体不可以是( )A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱圆的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为圆;三棱锥的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形;正方体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形;圆柱的正视图(主视图)、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆。参考答案:D4. 己知命题 “”是假命题,则实数的取值范围是( ) A. B. C. (?3,1) D. ?3,1参考答案:C略5. 若(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是( )A. 2iB. 2iC. 2D. 2参考答案:D【分析】计算出,即可求出复数z的虚部【详解】 复数的虚部是2
3、故选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算,其关键是熟练掌握其运算法则6. 已知函数,则关于的方程有个不同实数解的充要条件是( ) A. B. C. D.参考答案:B7. 九章算术卷第六均输中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是:使容量变化均匀,即由下往上均匀变细在这个问题中的中间两节容量和是( )A. 升 B. 升 C. 升 D. 升参考答案:C设竹九节由上往下的容量分别为,由题意可知:,所以问题中的中间两节容量和为故答案选C8. (原创)直线与圆的位置关系为( )A相交,相切或相离 B相切 C 相切或相离 D 相交或相切参考答
4、案:C略9. 要得到函数y=2sin2x的图象,只需将函数y=2sin(2x)的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位参考答案:A【考点】HJ:函数y=Asin(x+)的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asin(x+)的图象变换规律,可得结论【解答】解:将函数y=2sin(2x)的图象向左平移个单位可得函数y=2sin=2sin2x的图象,故选:A10. 若复数,则=( )A1 B0 C-1 D参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=cos2x+2sinx的最大值是 参考答案:【考点】三角函数的最值【专题】计算题【分析】
5、利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=,结合1sinx1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解:y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=又1sinx1当sinx=时,函数有最大值故答案为:【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意1sinx1的条件12. 已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2,则该双曲线的离心率为 参考答案:圆的标准方程为,圆心为,半径为,一条渐近线方程为,圆心到渐近线距离为,因为弦长为2,所以,所以13. 若双曲线=1的渐近线与方程为的圆相切,则此双曲
6、线的离心率为 参考答案:214. 已知数列是无穷等比数列,其前n项和是,若, 则的值为 . 参考答案:15. 若对任意实数(,1,都有成立,则实数a的值为 参考答案:题目可以转化为:对任意实数(,1,都有成立,令,则,当时,故在(,1单调递减,若,则最小值为0,与恒成立矛盾;若,要使恒成立,则,解得与矛盾当时,此时在(,)单调递减,在(,1)单调递增,此时,若,则最小值为0,与恒成立矛盾;若,要使恒成立,则接下来令,不等式可转化为,设,则,则在(,0)单调递减,在(0,1)单调递增,当t0时,有最小值为0,即,又我们要解的不等式是,故,此时,16. 已知函数,满足,时,则的图象的交点个数为个;
7、 参考答案:略17. 在平面直角坐标系xOy中,以直线y=2x为渐近线,且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是 参考答案:【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质【分析】设以直线y=2x为渐近线的双曲线的方程为(0),再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F(1,0),能求出双曲线方程【解答】解:设以直线y=2x为渐近线的双曲线的方程为(0),双曲线经过抛物线y2=4x焦点F(1,0),1=,双曲线方程为:故答案为:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题12分)已知数列是各项均不为的等差数列,公差为,为其前项和,且满足,数列满足,为数列
8、的前n项和()求数列的通项公式和数列的前n项和;()若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;参考答案:解(1)在中,令,得 即 解得,又时,满足,3分, 6分(2)当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立 ,等号在时取得 此时需满足 8分当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立 是随的增大而增大, 时取得最小值 此时需满足 11分综合、可得的取值范围是 12分19. 某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,
9、给出结论即可);(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取2名用户,求2名用户评分小于90分的概率.参考答案:()见解析;().()运用分层抽样从男性用户中抽取名用户,评分不低于分有人,其中评分小于分的人数为,记为,评分不小于分的人数为,记为,从人人任取人,基本事件空间为 ,共有个元素. 其中把“两名用户评分都小于分”记作,则 ,共有个元素. 所以两名用户评分都小于分的概率为.20. (本小题满分12分)数列满足:对任意的正整数,若,则,且()求证:;()求数列的通项公式;()记,求证:参考答案:()证明:由 ,得,即4分(
10、)由得:,令,则:由于,所以: ,所以: ,即: ,所以:=,所以 ()8分()=所以 12分略21. (本题满分12分)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按1:50进行分层抽样抽取的20名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如右:得到频率分布表如下:(1)求表中的值,并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在范围为及格);(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分,求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.参考答案:22. 如图,为矩形,为梯形,平面平面,()若为中点,求证:平面;()求直线与平面所成角的正弦值;()在线段上是否存在一点(除去端点),使得平面与平面所成锐二面角的大小为?若存在,请说明点的位置;若不存在,请说明理由参考答案:()连结PC,交DE于N点,连结MN,PAC中,M,N分别为PA、PC的中点,MNAC因为MN?面MDE,又AC?面MDE,所以AC平面MDE;()以D为空间坐标系的原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,记平面PBC的法向量为,由,令可得。设直线与平面所成角为,那么;()假设在线段上存在一点,满足,可知,。设平面的法向量为,由,令可得。若使得平面与平面所成锐二面角的大小为,则,解得或由于不为端点,则。因此PC上存在靠近C点的三等分点Q,满足题意。