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1、河南省驻马店市市第三高级中学高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知z为复数,(1i)2z=(1+i)3(i为虚数单位),则=()A1+iB1+iC1iD1i参考答案:B【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】函数思想;数系的扩充和复数【分析】设z=a+bi,利用向量相等,列出方程组,求出a、b的值即可【解答】解:设z=a+bi,a、bR,(1i)2(a+bi)=(1+i)3,即2i(a+bi)=2i(1+i),abi=1+i,即,解得a=1,b=1,z=1i,=1+i故选:B【点评】本题考查了复数
2、的共轭复数以及复数相等的应用问题,也考查了复数的代数运算问题,是基础题目2. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 ( )A.28B.32 C.36 D.参考答案:D3. 是,的平均数,是,的平均数,是,的平均数,则下列各式正确的是() 参考答案:A4. 设点P是双曲线与圆在第一象限内的交点,其中F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为 ( ) A B C D参考答案:B略5. 数列的通项公式为,当该数列的前项和达到最小时,等于( )(A) (B) (C) (D)参考答案:A略6. 设集合A=x|x2+2x+30,B=x|()x1,则A
3、B=()A(0,3)B(0,2)C(1,3)D(1,+)参考答案:B【考点】交集及其运算【专题】集合思想;定义法;集合【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出两集合的交集即可【解答】解:由A中不等式变形得:(x3)(x+1)0,解得:1x3,即A=(1,3),由B中不等式变形得: =()2()x1=()0,解得:0x2,即B=(0,2),则AB=(0,2),故选:B【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键7. 已知全集为,集合,则( )A. B. C. D.参考答案:C8. 已知函数,则( )(A)在时取得最小值,其图像关于点对称(B)在时取得最小值,其图
4、像关于点对称(C)在单调递减,其图像关于直线对称(D)在单调递增,其图像关于直线对称参考答案:D略9. 对任意实数,函数的导数存在,若且,则以下正确的是( )A. B. C. D.参考答案:B略10. 设,满足约束条件,则的取值范围为()A. B. C. D. 参考答案:B【分析】先根据约束条件画出可行域,设zx-y,再利用z的几何意义求最值,从而得到z的取值范围【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示,当直线过点时,取得最大值3,故.故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解,属中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28
5、分11. 若为正实数,则的最大值是 .参考答案:12. 已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为 。参考答案:13. 如右图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图是一个圆,那么该几何体的体积是 。 参考答案: 14. 设为坐标原点,若点满足则取得最小值时,点B的坐标是_.参考答案:由得,所以不等式对应的区域为,因为,所以,令,则,做平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小,所以当点B位于C时,取得最小值,此时坐标为。15. 设是各项不为零的项等差数列,且公差,将此数列删去某一项后,得到的数列
6、(按原来顺序)是等比数列。 (1)若= ; (2)所有数对所组成的集合为 。参考答案:16. 将的图像向右平移2个单位后得曲线,将函数的图像向下平移2个单位后得曲线,与关于轴对称若的最小值为且,则实数的取值范围为 参考答案:17. 已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=_参考答案:7解答:根据题意可得,.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本题满分12分)设,满足 . (1) 求函数的单调递增区间;(2)设三内角所对边分别为且,求在 上的值域参考答案:(1)的单调减区间为6分 (2),由余弦定理可变形为,由正弦定理为
7、12分略19. (本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比.(1)求数列的通项公式;(2)设,若恒成立,求实数的最小值.参考答案:(1)设公差为d,由已知得:,联立解得或(舍去),故 5分(2) 6分 8分,又,的最大值为12 12分20. (本小题满分12分) 如图,正四棱锥S-ABCD中,SA=AB,E、F、G分别为BC、SC、DC的中点,设P为线段FG上任意一点 (l)求证:EPAC; (2)当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时,求二面角P-BD-C的大小参考答案:(1)证:设AC交BD于O,SABCD为正四棱锥,SO底面ABCD,SOAC 1分又BDAC,又,
8、. 4分(2)解:设AB = 2,如图建立空间直角坐标系,则G(0,1,0),E(1,0,0),C(1,1,0),S(0,0,),F(,),B(1,0) 5分设,故点6分设面EFG的法向量为n = (abc) ,令a = 1得n = (1,1,0)7分设BP与平面EFG所成角为,则= 8分点P在线段FG上,即=1时取最大值此时点P与点F重合9分设二面角PBDC的大小为点P到平面ABCD的距离为,点P到BD的距离为110分则二面角PBDC的大小为12分21. 已知函数处取得极小值4,使其导函数的取值范围为(1,3)。 ()求的解析式及的极大值;()当的最大值。参考答案:解:(1)由题意知,因此处取得极小值4,在x=3处取得极大值。 4分 6分则 8分(2),当;当;当 12分略22. 已知数列an的前n项和为Sn,且满足()求数列an的通项an;()求数列nan的前n项和为Tn参考答案:(1),即;当时,当时,不满足上式,所以数列是从第二项起的等比数列,其公比为2;所以.(2)当时,当时,