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1、2022年北京第七十七中学高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合中的元素共有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 参考答案：A略2. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若则MUN=（ ） AM BN CI D参考答案：A3. 已知f（x）=sin2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调增区间分别为（）A，0，B2，C，D2，参考答案：考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性专题
2、：计算题分析：利用二倍角、两角和的正弦函数公式化简函数f（x）=sin2x+sinxcosx为解答：解：f（x）=sin2x+sinxcosx=所以函数的周期是：；由于，所以 x，是函数的单调增区间故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型4. 已知，若曲线上存在不同两点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则实数a的取值范围是A. B. (-2, 2) C. D. 参考答案：A由，得，由可得，设，则两切线斜率分别为，由且，可得，解得，故选A.5. 下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（）ABy=sinxCy=tanxDy=c
3、os2x参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性【分析】求出选项中的每个函数在区间上为增函数且以为周期的函数即可【解答】解：在区间上为增函数且以4为周期的函数，不合题意；y=sinx在区间上为增函数且以2为周期的函数，不合题意；y=tanx不满足在区间上为增函数且以为周期的函数y=cos2x在区间上为增函数且以为周期的函数，满足题意，正确故选D6. 某班的全体学生参加某项技能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20，40），40，60），60，80），80，100，若不低于80分的人数是8，则该班的学生人数是（）A 45B50C55D60参考答案：分析：根据
4、频率分布直方图，利用频率=，求出样本容量来解答：解：根据频率分布直方图，得；不低于80分的频率是0.01510=0.15，该班人数是=60故选：D点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率、频数与样本容量的关系进行解答，是基础题7. 已知数列an为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若，且，则=（ ）A. 32B. 31C. 30D. 29参考答案：B【分析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.【详解】因为，所以.因为，所以.所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识
5、的理解掌握水平和分析推理能力.8. 已知函数的大致图象是参考答案：B略9. 命题“对任意的”的否定是 A.不存在 B.存在 C.存在 D. 对任意的参考答案：B10. 已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为（）ABCD参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在四棱锥中，底面底面为梯形，,，若点是线段上的动点，则满足的点的个数是 参考答案：212. 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为 . 参考答案：因为的图像与函数的图像关于直线对称，则与互为反函数。所以由得，解得，所以。13. 若，则_参考答案：解析: 令x=1得，令x= -1
6、得，由联立，可得，14. 在ABC中，C90，M是BC的中点若sinBAM，则sinBAC . 参考答案：略15. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O 为原点若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为 参考答案： 16. 已知函数恒成立，则实数a的取值范围是 参考答案：略17. 已知函数，若存在唯一零点，且0，则a的取值范围 . 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）；（2）.试题解析：
7、（1）当时，.3分所以，函数在点处的切线方程为.即.5分（2）记，即.7分讨论如下：（）当时，令得；令得.所以在上是减函数，从而当时，.与在恒成立矛盾.10分（）当时，在上恒成立，所以在上为增函数，所以，这说明符合题意.综上，.12分考点：导数的应用【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值.19. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），在以O为极点，x
8、轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆（）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围参考答案：【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）消去参数可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），可得C2的直角坐标方程；（）设M（2cos，sin），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案【解答】解：（）消去参数可得C1的直角坐标方程为+y2=1，曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），C2的直角坐标方程为x2+（y3）
9、2=1；（）设M（2cos，sin），则|MC2|=，1sin1，由二次函数可知2|MC2|4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为21=1，最大值为4+1=5，|MN|的取值范围为1，5【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题20. （09年扬州中学2月月考）（10分）（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长.参考答案：解析：将方程，分别化为普通方程：，(5分)(10分)21. （12分）已知函数f(x)=aln x-ax-3(aR).(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意的
10、t1,2,函数g(x)=x3+x2f (x)+在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;(3)若x1,x21,+),比较ln(x1x2)与x1+x2-2的大小.参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程。B11 B12 【答案解析】(1) 单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1). (2) （，9） (3) ln(x1x2)0),由f (x)0得x1,由f (x)0得0x1,函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(2) f（x）=alnxax3，（2，f（2）点切线倾斜角为45，f（2
11、）=1，即2=1，则a=2，f（x）=+2，则g（x）=x3+x2（+2+）=x3+（2+）x22x，g（x）=3x2+（4+m）x2，函数不单调，也就是说在（t，3）范围内，g（x）=0有解，g（0）=20，当且仅当g（t）0且g（3）0时方程有解，3t2+（4+m）t20且3323（4+m）20，解得m3t4，又t1，2，m9，m的取值范围（，9）(3)由(1)可知,当a=-1,x1,+)时,f(x)f(1),即-ln x+x-10,0ln xx-1对一切x1,+)恒成立.若x1,x21,+),则0ln x1x1-1,0ln x2x2-1,0ln x1+ln x2x1+x2-2,即0ln(x1x2)x1+x2-2.故当x1=x2=1时,ln(x1x2)=x1+x2-2;当x1,x21,+),且x1,x2不全为1时,ln(x1x2)x1+x2-2.【思路点拨】（1）a=1时，由此能求出f（x）的单调增区间和单调减区间（2）由，（2，f（2）点切线倾斜角为45，求出f（x）=+2，由此能求出m的取值范（3）由(1)可知,当a=-1,x1,+)时,f(x)f(1),即-ln x+x-10,0ln xx-1对一切x1,+)恒成立即可证明。22. 已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足（1） 求的通项公式；（2）若的前项和为，求.参考答案：（1）， ，（2）
