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1、上海港湾学校高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出【解答】解： =在复平面上对应的点位于第二象限故选：B2. 已知p: 0,若?p是?q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )A. 1,+) B.1,3 C. 3,+) D. (-,1) 参考答案：A3. 已知向量+=（2，8），=（8，16），则与夹
2、角的余弦值为（）ABCD参考答案：B【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】利用向量坐标关系，求出=（3，4），=（5，12），再利用cos=求解即可【解答】解：由向量，得=（3，4），=（5，12），所以|=5，|=13， =63，即与夹角的余弦值cos=故选：B4. 集合，则A B C D参考答案：A5. （5分）若函数f（x）=|ax+x2x?lnam|2，（a0且a1）有两个零点，则m的取值范围（） A （1，3） B （3，1） C （3，+） D （，1）参考答案：A【考点】： 函数零点的判定定理【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 令g（x）=ax+x2x?lna
3、，先讨论a1，0a1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，再由y=|g（x）m|2有两个零点，所以方程g（x）=m2有2个根，而m+2m2，所以m+21且m21，即可得到m的取值范围解：令g（x）=ax+x2x?lna，g（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna，当a1，x（0，+）时，lna0，ax10，则g（x）0，则函数g（x）在（0，+）上单调递增，x（，0）时，lna0，ax10，所以g（x）0，则函数g（x）在（，0）上单调递减；当0a1时，x0，lna0，ax10，所以g（x）0，则函数g（x）在（0，+）上单调递增，当x（，0）时，lna0，ax10，所以g
4、（x）0，则函数g（x）在（，0）上单调递减故当a0且a1时，g（x）在x0时递减；g（x）在x0时递增，则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1又函数f（x）=|g（x）m|2有两个零点，所以方程g（x）=m2有二个根，而m+2m2，所以m+21且m21，解得m（1，3），故选A【点评】： 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题6. 对于函数，若存在，满足，则称为函数的一个“近零点”已知函数有四个不同的“近零点”，则的最大值为A2 B1 C D参考答案：D7. 已知O
5、为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y2=1的左、右焦点，点P为双曲线上任一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（ ）A1 B2 C 4 D参考答案：A不妨在双曲线右支上取点，延长，交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，从而，在中，为其中位线，故.故选A. 8. 若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数，和凸数的个数，然后求古典概型表示的概率.【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位
6、数有种方法，其中凸数有种方法，则该数为凸数的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题型.9. 设集合，若A=B，则（ ）A1 B C D参考答案：B10. 设函数若互不相等的实数p，q，r满足则的取值范围是 （ ） A.(8,16) B.(9,17) C.(9,16) D. 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点为F，过C上一点的切线与轴交于A，则= 。参考答案：15112. 给出下列命题：1 已知、为异面直线，过空间中不在、上的任意一点，可以作一个平面与、都平行；2 在二面角的两个半平面、内分别有直线、，则二面角是直二面角的充要条件
7、是或；已知异面直线与成，分别在、上的线段与的长分别为4和2，、的中点分别为、，则；若正三棱锥的内切球的半径为1，则此正三棱锥的体积最小值则正确命题的编号是 。参考答案：13. （3分）函数y=sin（2x+）（0）是R上的偶函数，则的值是参考答案：考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 计算题分析： 根据函数y=sin（2x+）的图象特征，若它是偶函数，只需要x=0时，函数能取得最值解答： 函数y=sin（2x+ ）是R上的偶函数，就是x=0时函数取得最值，所以f（0）=1即sin =1所以 =k+（kZ），当且仅当取 k=0时，得=，符合0 故答案为：点评： 本题考查了正
8、弦型函数的奇偶性，正弦函数的最值，是基础题14. 已知在等差数列an中，a1，a2017为方程x210x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为参考答案：15【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出【解答】解：a1，a2017为方程x210x+16=0的两根，a1+a2017=10=2a1009，数列an是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15故答案为：15【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 已知集合A=x|1x3，B=x|x2，则A
9、B= 参考答案：x|1x2【考点】交集及其运算【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解集合A=x|1x3，B=x|x2，则AB=x|1x2，故答案为：x|1x216. 设是定义在上以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。参考答案：本题考查函数性质及其应用，难度较大.因为是定义在上以1为周期的函数，所以，即在上的图像是由在上的图像向上平移1个单位得到，所以在上的值域是，同理，在上的值域是，所以在区间上的值域为.17. 当x1时，函数y=x+的最小值是_。参考答案：3略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在四棱锥PA
10、BCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA= AB，G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC平面PDC.(I）求证：AG平面PEC；(）求面PEC与面PAD所成二面角的余弦值参考答案：19. （本题满分12分）已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为，满足，且，（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积。参考答案：解：（）2cos2B8cosB5，2(2cos2B1)8cosB50. 4cos2B8cosB30，即(2cosB1)(2cosB3)0. 解得cosB或cosB(舍去)0B，B. （）法一：ac2b.， 化简得a2c22ac0，解得ac.ABC是边长为2的等边三角
11、形 ABC的面积等于法二：ac2b， sinAsinC2sinB2sin. sinAsin(A)，sinAsincosAcossinA. 化简得sinAcosA，sin(A)1. 0A，A.A，C，又a=2ABC是边长为2的等边三角形.ABC的面积等于. 略20. （本小题满分12分）某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得
12、利润最大？参考答案：数据分析列表书桌书橱资源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利润（元/张）80120计划生产（张）xy设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为4分目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为zmax=80100+400120=56000(元)-8分若只生产书桌，得0x300，即最多生产300张书桌，利润为z=80300=24000（元） 10分若只生产书橱，得0y450，即最多生产450张书橱，利润为z=120450=540
13、00（元） 答：略-12分21. 在极坐标系中，曲线C的方程为2=，点R（2，）（）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标（）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标【解答】解：（）由于x=cos，y=sin，则：
