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1、浙江省温州市第九中学2022年高三数学文月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A60种B63种C65种D66种参考答案：D【考点】计数原理的应用 【专题】排列组合【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶
2、数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=610=60共有1+5+60=66种结果，故选D【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题2. 已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于M，N点，若与直线的斜率的乘积为1，则的最小值为（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20参考答案：B【分析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小
3、值.【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.3. 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 6C. 9D. 24参考答案：B【分析】由题意，为球的直径，求出，可得球的半径，即可求出球的表面积【详解】如图所示，该
4、几何体为四棱锥底面为矩形，其中底面，则该阳马的外接球的直径为该阳马的外接球的表面积为：故选：【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为A B C D 参考答案：B5. 若函数()，则函数在其定义域上是 A单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数参考答案：B略6. “1x2”是“x2”成立的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件参考答案：B略7. 已知实数x，y满足不等式，则的最小值为（ ）A4B5C4D无最小
5、值参考答案：C绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即，其中取得最小值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为故选C8. 三棱锥PABC中，底面ABC满足BA=BC，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A2B3CD参考答案：B【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LR：球内接多面体【分析】设AB=a，棱锥的高为h，根据体积得出a与h的关系，根据勾股定理得出外接球半径R关于h的表达式，利用基本不等式得出R最小值时
6、对应的h的值即可【解答】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD平面ABC，ABC是等腰直角三角形，外接球的球心O在PD上，设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，则OD=hR，CD=AC=a，VPABC=，a2=，CD2+OD2=OC2，即（hR）2+a2=R2，R=3=，当且仅当即h=3时取等号，当外接球半径取得最小值时，h=3故选：B【点评】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与球的位置关系，属于中档题9. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）ABCD参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素【分析】根据函数的定义中“定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应”判
7、断【解答】解：由函数定义知，定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义故选C【点评】本题的考点是函数的定义，考查了对函数定义的理解以及读图能力10. 若，为正实数，则，的大小关系为（ ）A B C D参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班级有50名学生，现用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生。将这50名学生随机编号150号，并分组。第一组15号，第二组610号第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得的是号码为 的学生。参考答案：
8、3712. 函数的定义域为 .参考答案： 13. 若函数在点处的切线为，直线分别交轴、轴于点，为坐标原点，则的面积为 .参考答案：14. 若函数在上可导，则 _；参考答案：因为，所以，所以，所以。15. 已知_参考答案：16由题知.16. 已知数列an的前n项和为Sn，且，则数列的前6项和为_.参考答案：由题意得，因为数列的前6项和为.17. 边长为2的正方形ABCD，其内切圆与边BC切于点E、F为内切圆上任意一点，则取值范围为 参考答案：【知识点】向量;线性规划.F3,E5【答案解析】D 解析：解：以正方形ABCD的中心为原点如图建立坐标系，所以，设F点的坐标为，按线性规划可知，当直线与圆相
9、切时，有最大值与最小值，再由点的直线的距离公式可求出Z的最值，所以最大值为，最小值为.【思路点拨】把向量问题转换成线性规划问题是解题的关键.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，且中，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场（）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健
10、身广场的最大面积参考答案：解：（）作GHEF，垂足为H，因为，所以，因为所以，所以 过作交于T，则，所以 由于与重合时，适合条件，故,（），所以当且仅当，即时，取得最大值2000， 答：当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为略19. （本小题满分12分）已知函数（）求函数的单调区间；（）试问过点可作多少条直线与曲线相切?请说明理由参考答案：() 若,则,在上单调递增; 若,当时,函数在区间上单调递减, 当时,函数在区间上单调递增, 5分() 设过点的直线与曲线相切与点（）， 9分令，由()得时，在上单调递减, 上单调递增，所以与轴有两个交点，所以过点可作2条直线与曲线相切。12分20.
11、（本小题满分12分）如图,在三棱柱中,侧棱垂直底面, ，.（）求证:；（）求二面角的大小.参考答案：21. 在ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.（1）求角C的大小;（2）求的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.参考答案：（1）由条件及正弦定理得从而 即0c （2）由（1）知0A A+当时，取得最大值1。此时略22. 设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点A在抛物线C上，点B在l上，是边长为4的等边三角形.（1）求p的值；（2）在x轴上是否存在一点N，当过点N的直线与抛物线C交于Q、R两点时，为定值？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）由题知，则.设准线与轴交于点，则.又是边长为4的等边三角形，所以，即.（2）设点，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为，点，由得，则，.又，同理可得，则有.若为定值，则，此时点为定点.又当，时，所以，存在点，当过点的直线与抛物线交于、两点时，为定值.
