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1、湖北省恩施市大路坝中学高三数学文联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:B2. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()ABCD参考答案:B【考点】L!:由三视图求面积、体积【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图,我们可得该三棱柱的底面棱长为2,高为1,进而求出底面外接圆半径r,球心到底面的球心距d,球半径R,代入球的表面积公式即可求出球的表面积【解答】解:由已知底面是正三角形的三棱柱的正视
2、图我们可得该三棱柱的底面棱长为2,高为1则底面外接圆半径r=,球心到底面的球心距d=则球半径R2=则该球的表面积S=4R2=故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积,其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径,是解答本题的关键3. 已知复数满足,那么复数的虚部为( )A2 B2 C D参考答案:A略4. 复数,则复数在复平面上对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限参考答案:D,所以,对应点位,选D.5. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球表面积为( )A.11 B. C. D.16参考答案:C画出几何体的直观图如下图所示,设球心为,底面等边
3、三角形的外心为,由三视图可知,设球的半径为,则,故球的表面积为,故选C.6. 已知双曲线,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点,O是坐标原点若,则双曲线的离心率为 ( ) A B C D参考答案:C7. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10参考答案:D8. 边长为的三角形的最大角与最小角的和是( )A B C D参考答案:B边7对角为,则由余弦定理可知,所以,所以最大角与最小角的和为,选B.9. 已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x1,3),f(x)=lnx,若在区间1,9)内,函数g(x)=f(x)ax有三个不同零点,则
4、实数a的取值范围是()ABCD参考答案:B【考点】利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理【专题】导数的综合应用【分析】可以根据函数f(x)满足f(x)=f(3x),求出x3,9)上的解析式,在区间1,9)内,函数g(x)=f(x)ax有三个不同零点,可转化成“f(x)ax=0在区间1,9)上有三个解,即a=有三个解”,最后转化成y=a与h(x)=的图象有三个交点,根据函数的单调性画出函数h(x)的图象,即可求出所求【解答】解:设x3,9),则1,3)x1,3),f(x)=lnx,f()=ln,函数f(x)满足f(x)=f(3x),f()=f(x)=ln,f(x)=,在区间1,9)内,函数g
5、(x)=f(x)ax有三个不同零点,f(x)ax=0在区间1,9)上有三个解,即a=有三个解,则y=a与h(x)=的图象有三个交点,当x1,3),h(x)=,则h(x)=0,解得x=e,当x1,e)时,h(x)0,当x(e,3)时,h(x)0即函数h(x)=在1,e)上单调递增,在(e,3)上单调递减,当x=e处,函数h(x)=在1,3)上取最大值,当x3,9),h(x)=,则h(x)=0,解得x=3e,当x3,3e)时,h(x)0,当x(3e,9)时,h(x)0即函数h(x)=在3,3e)上单调递增,在(3e,9)上单调递减,当x=3e处,函数h(x)=在3,9)上取最大值,根据函数的单调性
6、,以及h(1)=0,h(e)=,h(3)=0,h(3e)=,h(9)=,画出函数的大值图象,根据图象可知y=a与h(x)在1,3)上一个交点,在3,3e) 上两个交点,在区间1,9)内,函数g(x)=f(x)ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是(,)故选:B【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,同时考查了运算求解的能力,体现了化归与转化、数形结合的数学思想,属于难题10. 已知集合,则( )A (0,2) B 0,2 C0, 2 D0,1, 2参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四棱柱的底面边长为2,高为3,则该正四棱柱的外接球的表面积为
7、参考答案:1712. 已知,且,则 。参考答案:略13. (理) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD/BC,侧棱底面ABCD,若AB=BC=,则CD与平面PAC所成的角为 参考答案:14. 设、分别是双曲线的左右焦点,点,若,则双曲线的离心率为_.参考答案:2 15. 若,则 参考答案: 16. 如图,正方形ABCD中,AB=2,将线段CD绕点C顺时针旋转90得到线段CE,线段BD绕点B顺时针旋转90得到线段BF,连接EF,则图中阴影部分的面积是_.参考答案:【分析】分别求出DC=BC=CE=2,BD=BF=2,求出DCE=90,DBF,分别求出BCD、BEF、扇形DB
8、F、扇形DCE的面积,即可得出答案【详解】过F作FMBE于M,则FME=FMB=90,四边形ABCD是正方形,AB=2,DCB=90,DC=BC=AB=2,DCB=45,由勾股定理得:BD=2,将线段CD绕点C顺时针旋转90得到线段CE,线段BD绕点B顺时针旋转90得到线段BF,DCE=90,BF=BD=2,FBE=90-45=45,BM=FM=2,ME=2,阴影部分的面积S=SBCD+SBFE+S扇形DCE-S扇形DBF=22+42+- =6-,故答案为:6-【点睛】本题考查了旋转的性质,解直角三角形,正方形的性质,扇形的面积计算等知识点,能求出各个部分的面积是解此题的关键17. 设的反函数
9、为,若函数的图像过点,且,则 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 选修4-5:不等式选讲(共1小题,满分10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x+|(a0)()当a=2时,求不等式f(x)3的解集;()证明:f(m)+f()4参考答案:【考点】绝对值三角不等式;基本不等式【分析】()当a=2时,求不等式即|x+2|+|x+|3,再利用对值的意义求得它的解集()由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式,证得要证的结论【解答】解:()当a=2时,求不等式f(x)3,即|x+2|+|x+|3而|x+2|+|x+|表示数轴上的x对应点到2、对
10、应点的距离之和,而0和3对应点到、对应点的距离之和正好等于3,故不等式f(x)3的解集为x|x,或 x()证明:f(m)+f()=|m+a|+|m+|+|+a|+|=(|m+a|+|+a|)+(|m+|+|+|)2(|m+|)=2(|m|+|)4,要证得结论成立【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式、基本不等式的应用,属于中档题19. (本小题满分12分)等差数列的前n项和为,已知,为整数,且.(I)求的通项公式;(II)设,求数列的前n项和.参考答案:解:(I)由,为整数知,等差数列的公差为整数又,故于是,解得,因此,故数列的通项公式为(II),于是20. 若
11、直角坐标平面内M、N两点满足:点M、N都在函数f(x)的图像上;点M、N关于原点对称,则称这两点M、N是函数f(x)的一对“靓点”。已知函数则函数f(x)有 对“靓点”。 参考答案: 1略21. 在曲线:,在曲线求一点,使它到直线:的距离最小,并求出该点参考答案:22. 已知有穷数列,若数列中各项都是集合的元素,则称该数列为数列对于数列,定义如下操作过程从中任取两项,将的值添在的最后,然后删除,这样得到一个项的新数列,记作(约定:一个数也视作数列)若还是数列,可继续实施操作过程得到的新数列记作,如此经过次操作后得到的新数列记作()设,请写出的所有可能的结果()求证:对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列()设,求的所有可能的结果,并说明理由参考答案:()有如下种可知结果:,;,;,;,;,;,()证明:,有:且,故对数列实施操作后得到的数列仍是数列()由题意可知中仅有一项,对于满足,的实数,定义运算:,下面证明这种运算满足交换律和结合律,且,即该运算满足交换律,即该运算满足结合律,中的项与实施的具体操作过程无关选择如下操作过程求,由()可知,易知,综上可知