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1、湖南省衡阳市 衡东县高塘中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知点是平面区域内的任意一点,则的最小值为A B C D 参考答案:B2. 是函数的零点,则 其中正确的命题为ABCD参考答案:B略3. 若函数在实数集上的图象是连续不断的,且对任意实数存在常数使得恒成立,则称是一个“关于函数”现有下列“关于函数”的结论:常数函数是“关于函数”;“关于2函数”至少有一个零点;是一个“关于函数”其中正确结论的个数是 ( ).A1 B2 C3 D0参考答案:B 【知识点】抽象函数及其应用B10解析:对任一
2、常数函数,存在,有 所以有,所以常数函数是“关于函数”“关于2函数”为,当函数不恒为0时有与同号定义在实数集上的函数的图象是连续不断的,图象与轴无交点,即无零点。对于设存在使得,即存在使得,也就是存在使得,也就是存在使得,此方程有解,所以正确。故正确是,故选:B【思路点拨】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可4. 关于x的不等式axb0的解集是(,1),则关于x的不等式的解集为()A(,1)(2,+)B(1,2)C(1,2)D(,1)(2,+)参考答案:B【考点】其他不等式的解法【分析】根据不等式axb0的解集为(,1)可求出a、b的等量关系以及符号,然后解分式不等
3、式即可【解答】解:不等式axb0的解集为(,1),ab=0且a0则b0,(ax+b)(x2)0,即a(x+1)(x2)0,解得:1x2,不等式的解集为(1,2)故选:B5. 已知五个实数成等差数列,五个实数成等比数列,则等于 ( ). . . 参考答案:D略6. 已知向量a、b的夹角为,|a+b|=2,则的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案:C7. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 ( )A. B.C. D.参考答案:B略8. 下列关于函数的描述正确的是A在上递增 B在上最小值为0 C. 周期为 D. 在上递减参考答案:D9. 函数是定义在上的偶函数,且
4、满足.当时,.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案:【知识点】函数的性质以及零点 B4 B9若在区间上方程恰有四个不相等的实数根,等价为有四个不相等的实数根,即函数和,有四个不相同的交点,函数的周期是2, 当时, ,此时, 是定义在R上的偶函数,即,作出函数和的图象,如下图:当经过时,两个图象有3个交点,此时,解得; 当经过时,两个图象有5个交点,此时,解得,要使在区间上方程恰有四个不相等的实数根,则,故选择【思路点拨】由得到函数的周期是2,利用函数的周期性和奇偶性作出函数的图象,由等价为有四个不相等的实数根,利用数形结合,即可得到结论
5、10. 设,若,则倪的取值范围是 (A)a2 (B)a1 (C)a1 (D)a2参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过定点M的直线:kxy+12k=0与圆:(x+1)2+(y5)2=9相切于点N,则|MN|= 参考答案:4【考点】JE:直线和圆的方程的应用;IO:过两条直线交点的直线系方程【分析】求出直线结果的定点,圆的圆心与半径,利用直线与圆的相切关系求解即可【解答】解:直线:kxy+12k=0过定点M(2,1),(x+1)2+(y5)2=9的圆心(1,5),半径为:3;定点与圆心的距离为: =5过定点M的直线:kxy+12k=0与圆:(x+1)2+(y5
6、)2=9相切于点N,则|MN|=4故答案为:412. 已知函数f(x)=ax32x的图象过点(1,4)则a=参考答案:2【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】f(x)是图象过点(1,4),从而该点坐标满足函数f(x)解析式,从而将点(1,4)带入函数f(x)解析式即可求出a【解答】解:根据条件得:4=a+2;a=2故答案为:2【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系,考查学生的计算能力,比较基础13. 若一组样本数据,的平均数为,则该组数据的方差 .参考答案:略14. 在中,角所对的边分别为且,若,则的取值范围是 .参考答案:15. 函数的零点是 参考答案:1016. 已知函数是
7、函数的反函数,则 (要求写明自变量的取值范围)参考答案:略17. 曲线在点处的切线倾斜角为_;参考答案:135三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cos2B=4cosB3()求角B的大小()若SABC=,asinA+csinC=5sinB,求边b参考答案:【考点】正弦定理【分析】()根据二倍角公式求出cosB的值,即可得出角B的大小;()由三角形面积公式以及正弦、余弦定理,即可求出边b的大小【解答】解:()ABC中,2cos2B=4cosB3,2(2cos2B1)=4cosB3,即4cos2
8、B4cosB+1=0,解得cosB=;又B0,B=;()由面积公式得SABC=acsinB=acsin=,解得ac=4,又asinA+csinC=5sinB,a2+c2=5b,由余弦定理得,b2=a2+c22accosB=5b24=5b4,b25b+4=0,解得b=1或b=4;又a2+c2=5b2ac=8,b,故b=419. (本题满分14分)等比数列的前n项和为,已知对任意的,点均在函数(均为常数)的图象上。 (1)求的值; (2)当时,设,求数列的前项和.参考答案:解: (1)由已知得且当n2时,由于数列成等比,故当n=1时(*)式仍成立,即.6分(2)由(1)知9分 上两式相减得,所以,
9、14分20. 在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且ac,已知?=2,cosB=,b=3,求:()a和c的值;()cos(BC)的值参考答案:【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数【专题】三角函数的求值【分析】()利用平面向量的数量积运算法则化简?=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值;()由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将
10、各自的值代入计算即可求出值【解答】解:() ?=2,cosB=,c?acosB=2,即ac=6,b=3,由余弦定理得:b2=a2+c22accosB,即9=a2+c24,a2+c2=13,联立得:a=3,c=2;()在ABC中,sinB=,由正弦定理=得:sinC=sinB=,a=bc,C为锐角,cosC=,则cos(BC)=cosBcosC+sinBsinC=+=【点评】此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键21. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的5次预赛成绩记录如下: 甲 82 82 79 95 87
11、乙 95 75 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率;(3)求甲、乙两人的成绩的平均数与方差,若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据你的计算结果,你认为选派哪位学生参加合适?参考答案:解:(1)作出茎叶图如下; (2)记甲被抽到的成绩为,乙被抽到成绩为,用数对表示基本事件:基本事件总数 记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件: 事件A包含的基本事件数,所以 所以甲的成绩比乙高的概率为 (3) , , 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。略22. (本小题满分12分)已知函数,xR(0),在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. 若将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象.(1)求函数g(x)的最大值及单调递减区间. (2)(理)在 且求的面积.(文)在且求角的值.参考答案:即x2k,2k,kZ为函数的单调递减区间. (2)(理)f(x)sin(2x), 而, 由余弦定理知,联立解得,。(文)f(x)sin(2x), 而,。