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1、北京龙湾屯中学高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列an的通项公式是an=（nN+），若前n项的和为10，则项数n为( )A11B99C120D121参考答案：C【考点】数列的求和【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】运用分母有理化可得an=，再由裂项相消求和可得前n项的和为Sn，由Sn，=10，解方程可得n【解答】解：an=，前n项的和为Sn=1+2+=1，由题意可得1=10，解得n=120故选：C【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题2. 若方程
2、表示焦点在轴上的椭圆，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D3. 当1，2，3，4，5，6时，比较和的大小并猜想 www.ks5 高#考#资#源#网A时， B. 时，C. 时， D. 时，参考答案：D略4. 函数的定义域为开区间，导函数在区间内的图像如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ） 个。A1 B2 C3 D4参考答案：A略5. 函数y=2x33x212x+5在0，3上的最大值、最小值分别是（）A5，4B5，15C4，15D5，16参考答案：B【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】对函数求导，利用导数研究函数y=2x33x212x+5在0，3上的单调性
3、，判断出最大值与最小值位置，代入算出结果【解答】解：由题设知y=6x26x12，令y0，解得x2，或x1，故函数y=2x33x212x+5在0，2上减，在2，3上增，当x=0，y=5；当x=3，y=4；当x=2，y=15由此得函数y=2x33x212x+5在0，3上的最大值和最小值分别是5，15；故选B6. 以正方体的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是 ( ) A B C D参考答案：C略7. 下列命题正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab，则abC若acbc，则abD若ab，则acbc参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用【专题】证明题【分析】根据
4、不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案【解答】解：当c=0时，若ab，则ac2=bc2，故A错误；若ab，则ab，故B错误；若acbc，当c0时，则ab；当c0时，则ab，故C错误；若ab，则acbc，故D正确故选D【点评】本题考查的知识点是不等式的性质，及命题的真假判断与应用，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键8. 抛物线上到直线的距离最近的点的坐标（ ）A. B. C. D. 参考答案：B略9. 现有五种不同的颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，则不同的
5、着色方法有（） A180种B240种C225种D120种参考答案：A略10. 的值是 （ ） A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式x1的解集是 参考答案：（1，1）（3，+）【考点】其他不等式的解法【分析】首先移项通分，化简为整式不等式解之【解答】解：不等式变形为，所以0，等价于（x+1）（x3）（x1）0，所以不等式的解集为（1，1）（3，+）；故答案为：（1，1）（3，+）12. 由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为_参考答案：略13. 已知圆的圆心在直线上，则 ；圆被直线截得的弦长为_.参考答案：2；814. 已知直
6、线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 参考答案：4【考点】直线的一般式方程【分析】设AB方程为，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a0，b0，AB方程为，点P（2，1）代入得=12，ab8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB面积S= ab4，故答案为 415. 已知等差数列的公差为,是与的等比中项,则首项_,前项和_.参考答案：2,-n(n-2)略16. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，
7、则mn的值为参考答案：【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=mn=故答案为：【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握17. 若（1+x）（2x）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+a2014+a2016等于参考答案：22015【考点】二项式定
8、理的应用【专题】方程思想；转化思想；二项式定理【分析】（1+x）（2x）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015+a2016x2016，可得：当x=1时，0=a0a1+a2+a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0即可得出【解答】解：（1+x）（2x）2015=a0+a1x+a2x2+a2015x2015+a2016x2016，当x=1时，0=a0a1+a2+a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0a2+a4+a2014+a2016=2201
9、5故答案为：22015【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数,对任意实数,均有,并且.证明:对任意实数,均有由此证明对任意实数均有.参考答案：解析:由已知得,对任意实数x均有,由得若时, 由函数在上单调递增则若,则类似可以得到综上可知命题成立.又运用已证的结论对任意x有19. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求实数的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说
10、明理由.参考答案：（2）设则由方程，知，又，由得.共线等价于将代入，解得 由知故不存在符合题意的常数20. 已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx+1（）若曲线y=f（x）在点（a，f（a）处的切线是y=b，求a与b的值；（）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】综合题；转化思想；分析法；导数的概念及应用【分析】（）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程即可得到a=0，b=2；（）求得导数，求得单调区间和极值、最值，由题意可得b2【解答】解：（）函数f（x）=x2+xsinx+cosx
11、+1的导数为f（x）=2x+sinx+xcosxsinx=2x+xcosx，即有在点（a，f（a）处的切线斜率为2a+acosa，由切线为y=b，可得2a+acosa=0，a2+asina+cosa+1=b，解得a=0，b=2；（）f（x）的导数为f（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），当x0时，f（x）0，f（x）递增；当x0时，f（x）0，f（x）递减即有x=0处取得极小值，且为最小值2曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，可得b2即为b的取值范围是（2，+）【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及运算求解能力，属于中
12、档题21. （本小题满分12分）已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. （1）从中任取1个球, 求取得红球或黑球的概率；（2）列出一次任取2个球的所有基本事件；（3）从中取2个球，求至少有一个红球的概率.参考答案：（1）从6只球中任取1球得红球有2种取法，得黑球有3种取法，得红球或黑球的共有2+3=5种不同取法，任取一球有6种取法，所以任取1球得红球或黑球的概率得.（2）将红球编号为红1,红2，黑球编号为黑1,黑2,黑3,则一次任取2个球的所有基本事件为：红1红2 红1黑1 红1黑2 红1黑3 红1白红2白红2黑1 红2黑2红2黑3 黑1黑2黑1黑3 黑1白黑2黑3黑2白 黑3白（3）由（2）知从6只球中任取两球一共有15种取法，其中至少有一个红球的取法共有9种，所以其中至少有一个红球概率为.22. 已知抛物线y24x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1) 求证：y1y2是一个定值；(2) 求证：直线MB平行于x轴参考答案：圆(x2)2y22的圆心为A(2,0)，半径为.设动圆圆心为M（x，y），半径为r.略
