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1、天津第八十九中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 由不等式组确定的平面区域记为,不等式组确定的平面区域记为,在中随机抽取一点,则该点恰好在内的概率为( )A B C D参考答案:D2. 已知以F1(2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D4参考答案:C3. 已知数列中,前项和为,且点在直线上,则=( )A. B. C. D.参考答案:C4. 已知双曲线的左,右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为( )
2、 A BCD 参考答案:A略5. 设的一个顶点是的平分线所在直线方程分别为 则直线的方程为( )A BC. D参考答案:B略6. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是()A3 B11C38 D123参考答案:B7. 函数f(x)x2lnx在定义域内的零点个数为( )A、0B、1C、2D、3参考答案:C略8. 在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且,则展开式中常数项的值为 ( ) 、6 、9 、12 、18 参考答案:B9. 已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5若存在两项am,an使得,则的最小值为()ABCD参考答案:B考点:等比数列的性质 专题
3、:综合题;等差数列与等比数列分析:根据a7=a6+2a5,求出公比的值,利用存在两项am,an使得,写出m,n之间的关系,结合基本不等式得到最小值解答:解:设等比数列的公比为q(q0),则a7=a6+2a5,a5q2=a5q+2a5,q2q2=0,q=2,存在两项am,an使得,aman=16a12,qm+n2=16,m+n=6=(m+n)()=(10+)m=1,n=5时,=;m=2,n=4时,=的最小值为,故选B点评:本题考查等比数列的通项和基本不等式,实际上应用基本不等式是本题的重点和难点,关键注意当两个数字的和是定值,要求两个变量的倒数之和的最小值时,要乘以两个数字之和10. 平面外一点
4、到平面内一直角顶点的距离为23cm,这点到两直角边的距离都是17cm,则这点到直角所在平面的距离为( )A. B. C.7 D.15参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米。当水面升高1米后,水面宽度是_米.参考答案:略12. 如图,在ABCD中,M是BC的中点,则_(用、表示)参考答案:略13. 下列说法:线性回归方程必经过;相关系数的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性越强;标准差越大,表明样本数据越稳定;相关系数,表明两个变量正相关,表明两个变量负相关。其中正确的说法是_。参考答案:【分析】由线性回归
5、方程的性质可判断;由系数r的意义可判断;由标准差意义可得;由两个变量的相关关系可判断。【详解】(1)线性回归方程必过样本点的中心,正确;(2)线性相关系数r的绝对值越接近1时,两个随机变量线性相关性越强,因此正确;(3)标准差越大,数据的离散程度越大,越不稳定,故错误;(4)相关系数,表明两个变量正相关,表明两个变量负相关,故正确,综上,正确的说法是【点睛】本题考查变量间的相关关系。14. 圆经过点与圆相切于点,则圆的方程为 .参考答案:15. 5k6是方程为的曲线表示椭圆时的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)参考答案:必要不充分【考点】必要条件、充分条
6、件与充要条件的判断【专题】方程思想;数学模型法;简易逻辑【分析】方程的曲线表示椭圆?(k5)(6k)0,k50,k56k,解出即可判断出【解答】解:方程的曲线表示椭圆?(k5)(6k)0,k50,k56k,?5k6,且k5.55k6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件故答案为:必要不充分【点评】本题考查了充要条件的判定、椭圆的标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16. 函数f (x)ex3x的零点个数是 参考答案:117. 若,其导数满足,则的值为_.参考答案:【分析】求出后可得关于的方程,可从该方程解出即可.【详解】,则,故,填.【点睛】本题考查导数的计算,属于基础题.三、 解
7、答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an2(1)求a1,a2,a3并由此猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明an的通项公式参考答案:【考点】RG:数学归纳法;81:数列的概念及简单表示法【分析】(1)分别令n=1,2,3代入条件式解出a1,a2,a3,根据前三项的特点猜想通项公式;(2)先验证n=1时猜想成立,假设n=k时猜想成立,利用条件式推导ak+1,得出n=k+1时猜想成立【解答】解:(1)Sn=2an2,当n=1时,a1=2a12,解得a1=2当n=2时,a1+a2=2a22,解得a2=4当n=3时,
8、a1+a2+a3=2a32,解得a3=8猜想:an=2n(2)当n=1时,显然猜想成立假设n=k时,猜想成立,即ak=2k则当n=k+1时,Sk+1=2ak+12Sk+ak+1=2ak+12,2ak2+ak+1=2ak+12,ak+1=2ak=2?2k=2k+1当n=k+1时,猜想成立an=2n19. 设m为正整数,展开式的二项式系数的最大值为a,展开式的二项式系数的最大值为b,a与b满足(1)求m的值;(2)求的展开式中的系数。参考答案:(1)由题意知:,又(2)含的项:所以展开式中的系数为20. 椭圆C:过点,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交椭圆于A,B两点()求椭圆
9、C的方程;()点M的坐标为(2,0),设直线AM与BM斜率分别为,求证:.参考答案:解:()因为椭圆:过点,所以.又因为离心率为,所以,所以.解得,.所以椭圆的方程为. 5分法一:()当直线斜率不存在时,因为,所以当直线斜率存在时,设直线,设与椭圆交点,联立得即, 8分= 因为综上:命题得证. 12分法二:()当直线斜率为0时,因为,所以当直线斜率不为0时,设直线,设与椭圆交点,联立得即, 8分综上:命题得证. 12分21. (2011?福建)已知等差数列an中,a1=1,a3=3()求数列an的通项公式;()若数列an的前k项和Sk=35,求k的值参考答案:解:(I)设等差数列an的公差为d
10、,则an=a1+(n1)d由a1=1,a3=3,可得1+2d=3,解得d=2,从而,an=1+(n1)(2)=32n;(II)由(I)可知an=32n,所以Sn=2nn2,进而由Sk=35,可得2kk2=35,即k22k35=0,解得k=7或k=5,又kN+,故k=7为所求考点:等差数列的通项公式;等差数列的前n项和 专题:综合题;转化思想分析:(I)设出等差数列的公差为d,然后根据首项为1和第3项等于3,利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程,求出方程的解即可得到公差d的值,根据首项和公差写出数列的通项公式即可;(II)根据等差数列的通项公式,由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式,
11、当其等于35得到关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,根据k为正整数得到满足题意的k的值解答:解:(I)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n1)d由a1=1,a3=3,可得1+2d=3,解得d=2,从而,an=1+(n1)(2)=32n;(II)由(I)可知an=32n,所以Sn=2nn2,进而由Sk=35,可得2kk2=35,即k22k35=0,解得k=7或k=5,又kN+,故k=7为所求点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道基础题22. 等差数列中,其前项和为. 等比数列的各项均为正数,且,.()求数列与的通项公式;()求数列的前项和.参考答案:解:()设公差为d,数列的公比为,由已知可得, 2分又. 4分所以,. 6分 ()由()知数列中, 8分 , 10分. 12分略