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1、浙江省杭州市萧山市长山职业中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为2.63元，1.95元，2.26元，1.77元，0.39元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于5元的概率是 A. B. C. D.参考答案：B2. 设，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小。【详解】，且，故选A。【点睛】本
2、题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用。3. 若函数，则的最大值为A1 B C D参考答案：B4. 某班有50名学生，该班某次数学测验的平均分为70分，标准差为，后来发现成记录有误：甲生得了80分，却误记为50分；乙生得了70分，却误记为100分。更正后得标准差为，则与之间的大小关系为 （ ） A、 B、 C、 D、无法确定参考答案：B5. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”参考答案：B解析： 因
3、为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。6. 已知i为虚数单位，则复数=( )A2+iB2iC12iD1+i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：=，故选：C点评：本题考查复数复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题7. 函数y=的定义域是（ ）A（3，+） B3,+) C(4, +) D4,+)参考答案：D8. 下边的流程图最后输出n的值是（ ）A6 B5 C4 D3参考答案：B执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2nn2，n=3不满足条件2nn2
4、，n=4不满足条件2nn2，n=5满足条件2n=32n2=25，退出循环，输出n的值为5.故选：C.9. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意向量ab令ab，则下列说法错误的是 （A）对任意的aba(b) （B）abba（C）ababab（D）若a与b共线，则ab参考答案：B10. 定义两个实数间的一种新运算“”：.对任意实数，给出如下结论：； ；其中正确的个数是 A 0 B1 C2 D3 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是 参考答案：2【考点】H2：正弦函数的图象【分析】令y=sin（x+）=，求
5、出在x0，2）内的x值即可【解答】解：令y=sin（x+）=，解得x+=+2k，或x+=+2k，kZ；即x=+2k，或x=+2k，kZ；同一直角坐标系中，函数y的图象和直线y=在x0，2）内的交点为（，）和（，），共2个故答案为：2【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题12. 已知函数，令，则二项式，展开式中常数项是第 _项.参考答案：513. 若函数的图象在处的切线方程是，则 .参考答案：14. 如图，在圆内接四边形ABCD中，AC是外接圆直径，若点E为边CD上的动点，则的最小值为_参考答案：【分析】在圆内接四边形中，是外接圆直径，则，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，从
6、而得出直线方程，据此写出点的坐标，设点的坐标为，则 ，所以， ，由此表示出，从而得到答案。【详解】因为在圆内接四边形中，是外接圆直径，所以 ，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示因为，所以，直线的斜率为所以 因为，所以直线的斜率为 直线的方程为令，解得，所以 设点的坐标为，则 所以， 所以，又因为，所以当时，的最小值为 .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，掌握数量积的定义是关键，属于一般题。15. 已知等差数列满足：，该数列的前三项分别加上，后顺次成为等比数列的前三项. 求数列的通项公式=_参考答案：16. 若抛物线（p0）的焦点与双曲线的左焦点重合，则的值为_ .参考答
7、案：617. 如图，程序结束输出的值是_。参考答案：91三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=x3+|xa|（aR）（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）当a（0，1）时，求f（x）在区间1，1上的最小值（用a表示）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f（0）的值，求出切线方程即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可【解答】解：（1）a=1，x1时，f（x
8、）=x3+1x，f（x）=3x21，故f（0）=1，f（0）=1，故切线方程是y=x+1；（2）a（0，1）时，由已知得f（x）=，ax1时，由f（x）0，得f（x）在（a，1）递增，1xa时，由f（x）=3x21，a（，1）时，f（x）在（1，）递增，在（，）递减，在（，1）递增，f（x）min=minf（1），f（）=mina，a=a，a（0，时，f（x）在（1，）递增，在（，a）递减，在（a，1）递增，f（x）min=minf（1），f（a）=mina，a3=a3；综上，f（x）min=19. 已知向量，设函数（1）若函数的图像关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件
9、下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围参考答案：（1）向量，函数（1）函数f（x）图象关于直线对称，（kZ），.3分解得： （kZ），所以函数f（x）的单调增区间为（kZ）.5分（2）由（1）知（2）由（1）知，函数单调递增；.7分函数单调递减. .8分又，当时函数f（x）有且只有一个零点即.10分.12分20. （本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，满足，为递增的等比数列，且是方程的两个根.（I）求数列，的通项公式；（II）若数列满足，求数列的前n项和.参考答案：（），1分，2分.3分，解得或，因为为递增数列，所以，5分，数列，的通项公式分别为.6分（）.7分 ， ,由得2
10、1. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面所成角的正弦值参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由题意，平面把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可（2）解法一：作AMEH，垂足为M，证明HGAM，推出AM平面EFGH通过计算求出AM=4AF，设直线AF与平面所成角为，求解即可解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
11、，求出平面一个法向量，利用直线AF与平面所成角为，通过空间向量的数量积求解即可【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面把长方体分成两个高为5的直四棱柱，所以，（2）解法一：作AMEH，垂足为M，由题意，HG平面ABB1A1，故HGAM，所以AM平面EFGH 因为，所以SAEH=10，）因为EH=5，所以AM=4 又，设直线AF与平面所成角为，则所以，直线AF与平面所成角的正弦值为 解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），故，设平面一个法向量为，则即所
12、以可取 设直线AF与平面所成角为，则 所以，直线AF与平面所成角的正弦值为 22. 在如图所示的三棱锥A-BCD中，ABD是边长为2的等边三角形，是的中位线，P为线段BC的中点.（1）证明：.（2）若二面角为直二面角，求二面角的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）.【分析】（1）如图，由中位线可得，取的中点为，取的中点，连接，可证平面，从而可证.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面的法向量和平面的法向量的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取的中点为，取的中点，连接.因为是边长为2的等边三角形，所以.因为，故，故.因为，所以且，所以.因为，故，所以.因为，平面,平面，故平面，因为平面，.因为，故，所以.（2）由（1）可得， 所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以即.建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，设平面的法向量为，则即，故，取，则，所以.设平面的法向量为，则即，取，则，故，所以，因为二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的
