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1、河北省石家庄市新乐培英中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设f(x)=,则f(x)dx的值为()A +B +3C +D +3参考答案:A【考点】67:定积分【分析】根据定积分性质可得f(x)dx=+,然后根据定积分可得【解答】解:根据定积分性质可得f(x)dx=+,根据定积分的几何意义,是以原点为圆心,以1为半径圆面积的,=,f(x)dx=+(),=+,故答案选:A2. 已知D是的边BC上(不包括B、C点)的一动点,且满足,则 的最小值为A. 3 B. 5 C. 6 D. 4参考答案:D
2、略3. 设,则( )A B C D参考答案:C4. 已知函数的反函数,则的图象 ( )A关于点对称 B关于点对称 C关于点对称 D关于点对称参考答案:B5. 设曲线在点处的切线与直线垂直,则( )A B C D参考答案:【知识点】导数的几何意义;两直线垂直的充要条件.B11 H2答案D 解析:因为,所以,则曲线在点处的切线的斜率为,又因为切线与直线垂直,所以,解得,故选D。【思路点拨】先对原函数求导,求出斜率,再结合两直线垂直的充要条件可求得a的值。6. 已知sin,则cos的值等于()A B C. D. 参考答案:B略7. 设向量,满足,则 “”是 “”成立的( ) A充要条件 B必要不充分
3、条件 C充分不必要条件 D不充分也不必要条件参考答案:C8. (07年宁夏、 海南卷)已知命题,则(), , ,参考答案:答案:C解析:是对的否定,故有:9. 函数的大致图象为 参考答案:C略10. 已知=(x,y)|0x1,0y1,A是由直线y=0,x=a(0a1)和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域,若向区域上随机投一点P,点P落在区域A内的概率是,则a的值为()ABCD参考答案:D【考点】CF:几何概型【分析】根据题意,易得区域的面积,由定积分公式,计算可得区域A的面积,又由题意,结合几何概型公式,可得=,解可得答案【解答】解:根据题意,区域即边长为1的正方形的面积为11=1,区域A
4、即曲边三角形的面积为0ax3dx=x4|0a=a4,若向区域上随机投一点P,点P落在区域A内的概率是,则有=,解可得,a=,故选D【点评】本题考查几何概型的计算,涉及定积分的计算,关键是用a表示出区域A的面积二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在四面体中,二面角的大小为150,则四面体外接球的半径为 参考答案:12. 在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且角A=60,若,且5sinB=3sinC,则ABC的周长等于 。参考答案:略13. 已知抛物线的弦AB的中点的横坐标为2,则的最大值为 .参考答案:略14. 将四个人(含甲、乙)分成两组,则甲、乙为同一组的概
5、率为 参考答案:【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】4人分成两组,通过讨论每2人一组以及一组一人,一组3人的情况即可求出结论【解答】解:4人分成两组,若一组2人,则有=3种分法,若一组一人,一组3人,则有=4种分法,甲、乙分别同一组的概率为+=故答案为:【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题,解题时往往会忽略有些情况是相同的,本题是一道中档题15. (不等式选讲选做题)设函数 1),且的最小值为,若,则的取值范围 参考答案:16. 某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4, 则命中环数的方差为 . (注:方差,其中为的平均数)参考答案:4略
6、17. 高三(2)班现有64名学生,随机编号为0,1,2,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,8现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本,若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为 参考答案:【分析】先求出分组间隔为,再由在第一组中随机抽取的号码为5,能求出在第6组中抽取的号码【解答】解:高三(2)班现有64名学生,随机编号为0,1,2,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,8分组间隔为,在第一组中随机抽取的号码为5,在第6组中抽取的号码为:5+58=45故答案为:45【点评】本题考查样本号码的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意系统抽样的性质的合理
7、运用三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0,直线l的参数方程为(t为参数),射线OM的极坐标方程为=()求圆C和直线l的极坐标方程()已知射线OM与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长参考答案:【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程【分析】(I)根据已知中圆C的直角坐标系方程,可得圆C的极坐标方程;先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程,进而可得直线l的极坐标方程
8、()已知射线OM与圆C的交点为O,P,将=代和,可得P,Q点的极坐标,进而得到线段PQ的长【解答】解:(I)圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0,圆C的极坐标方程为:2+2cos2sin=0,即+2cos2sin=0,即,直线l的参数方程为(t为参数),消参得:xy+1=0,直线l的极坐标方程为:cossin+1=0,即sincos=;()当=时,|OP|=2,故点P的极坐标为(2,),|OQ|=,故点Q的极坐标为(,),故线段PQ的长为:19. 如图,已知平面,,分别是的中点.(1)求异面直线与所成的角的大小;(2)求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.参考答案:(1)解法一:取中
9、点,连接,则, 所以就是异面直线与所成的角.2分 由已知, .4分 在中,. 所以异面直线与所成的角为(.6分 解法二:如图所示建立空间直角坐标系,2分, 4分所以异面直线与所成的角为.6分(2)绕直线旋转一周所构成的旋转体,是以为底面半径、为高的 圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥,体积.12分20. 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为p=2cos(+)(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值参考答案:考点:参数方程化成普通方程 专题:坐标系和参数方程分析:(1)由
10、圆C的极坐标方程=2cos(+),展开化为2=,把代入配方即可得出;(2)利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=,化简整理利用二次函数的单调性即可得出解答:解:(1)由圆C的极坐标方程=2cos(+),化为,展开为2=,化为x2+y2=平方为=1,圆心为(2)由直线l上的点向圆C引切线长=,由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二次函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题21. (13分) 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为边的中点,与平面所成的角为,且,. () 求证:平面;()求二面角的大小.参考答
11、案:解析:证明:()因为底面,所以是与平面所成的角,由已知, 所以.易求得,, 又因为,所以, 所以.因为底面,平面,所以. 由于,所以平面.6分()设为中点. 连结,由于底面,且平面,则平面平面.因为,所以平面.过作,垂足为,连结,由三垂线定理可知,所以是二面角的平面角.容易证明,则,因为,所以.在中,因为,所以,所以二面角的大小为.13分解法二:因为底面,所以是与平面所成的角,由已知, 所以.建立空间直角坐标系(如图).由已知,为中点.于是、.()易求得, .因为, ,所以,.因为,所以平面.6分()设平面的法向量为,由 得 解得,所以.因为平面,所以是平面的法向量, 易得.所以.所以二面
12、角的大小为.13分22. (本小题满分12分)近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识, 某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组,第2组,第3组,第4组, 第5组,得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人.(1)求该组织的人数.(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?(3)在(2)的条件下,该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案:(1)由题意:第2组的人数: 35=,得到:, 故该组织有100人. 3分(2) 第3组的人数为0.3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第 5组的人数为0. 1100=10. 5分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60 名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2