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1、河北省石家庄市新乐培英中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A +B +3C +D +3参考答案：A【考点】67：定积分【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，f（x）dx=+（），=+，故答案选：A2. 已知D是的边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足，则 的最小值为A. 3 B. 5 C. 6 D. 4参考答案：D
2、略3. 设，则( )A B C D参考答案：C4. 已知函数的反函数，则的图象 （ ）A关于点对称 B关于点对称 C关于点对称 D关于点对称参考答案：B5. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A B C D参考答案：【知识点】导数的几何意义；两直线垂直的充要条件.B11 H2答案D 解析：因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，又因为切线与直线垂直，所以，解得，故选D。【思路点拨】先对原函数求导，求出斜率，再结合两直线垂直的充要条件可求得a的值。6. 已知sin，则cos的值等于()A B C. D. 参考答案：B略7. 设向量，满足，则 “”是 “”成立的（ ） A充要条件 B必要不充分
3、条件 C充分不必要条件 D不充分也不必要条件参考答案：C8. （07年宁夏、 海南卷）已知命题，则（）， ， ，参考答案：答案：C解析：是对的否定，故有：9. 函数的大致图象为 参考答案：C略10. 已知=（x，y）|0x1，0y1，A是由直线y=0，x=a（0a1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（）ABCD参考答案：D【考点】CF：几何概型【分析】根据题意，易得区域的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案【解答】解：根据题意，区域即边长为1的正方形的面积为11=1，区域A
4、即曲边三角形的面积为0ax3dx=x4|0a=a4，若向区域上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在四面体中，二面角的大小为150，则四面体外接球的半径为 参考答案：12. 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于 。参考答案：略13. 已知抛物线的弦AB的中点的横坐标为2，则的最大值为 .参考答案：略14. 将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概
5、率为 参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】4人分成两组，通过讨论每2人一组以及一组一人，一组3人的情况即可求出结论【解答】解：4人分成两组，若一组2人，则有=3种分法，若一组一人，一组3人，则有=4种分法，甲、乙分别同一组的概率为+=故答案为：【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，本题是一道中档题15. （不等式选讲选做题）设函数 1），且的最小值为，若，则的取值范围 参考答案：16. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4, 则命中环数的方差为 . (注：方差，其中为的平均数）参考答案：4略
6、17. 高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，8现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 参考答案：【分析】先求出分组间隔为，再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，8分组间隔为，在第一组中随机抽取的号码为5，在第6组中抽取的号码为：5+58=45故答案为：45【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理
7、运用三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为=（）求圆C和直线l的极坐标方程（）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（I）根据已知中圆C的直角坐标系方程，可得圆C的极坐标方程；先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程，进而可得直线l的极坐标方程
8、（）已知射线OM与圆C的交点为O，P，将=代和，可得P，Q点的极坐标，进而得到线段PQ的长【解答】解：（I）圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x2y=0，圆C的极坐标方程为：2+2cos2sin=0，即+2cos2sin=0，即，直线l的参数方程为（t为参数），消参得：xy+1=0，直线l的极坐标方程为：cossin+1=0，即sincos=；（）当=时，|OP|=2，故点P的极坐标为（2，），|OQ|=，故点Q的极坐标为（，），故线段PQ的长为：19. 如图，已知平面，,分别是的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.参考答案：（1）解法一：取中
9、点，连接，则， 所以就是异面直线与所成的角.2分 由已知， .4分 在中，. 所以异面直线与所成的角为（.6分 解法二：如图所示建立空间直角坐标系，2分， 4分所以异面直线与所成的角为.6分（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的 圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，体积.12分20. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（+）（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值参考答案：考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：（1）由
10、圆C的极坐标方程=2cos（+），展开化为2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出解答：解：（1）由圆C的极坐标方程=2cos（+），化为，展开为2=，化为x2+y2=平方为=1，圆心为（2）由直线l上的点向圆C引切线长=，由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题21. （13分） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，. () 求证：平面；（）求二面角的大小.参考答
11、案：解析：证明：（）因为底面，所以是与平面所成的角，由已知， 所以.易求得，, 又因为，所以, 所以.因为底面，平面,所以. 由于，所以平面.6分（）设为中点. 连结，由于底面，且平面，则平面平面.因为，所以平面.过作，垂足为，连结，由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角.容易证明，则，因为，所以.在中，因为，所以，所以二面角的大小为.13分解法二:因为底面，所以是与平面所成的角，由已知， 所以.建立空间直角坐标系（如图）.由已知，为中点.于是、.（）易求得， .因为, ,所以，.因为，所以平面.6分（）设平面的法向量为，由 得 解得，所以.因为平面，所以是平面的法向量， 易得.所以.所以二面
12、角的大小为.13分22. （本小题满分12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识， 某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组， 第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数.（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案：（1）由题意：第2组的人数： 35=,得到：， 故该组织有100人. 3分(2) 第3组的人数为0.3100=30, 第4组的人数为0.2100=20, 第 5组的人数为0. 1100=10. 5分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60 名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:6=3; 第4组:6=2; 第5组:6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2
