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1、山西省吕梁市博文中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知命题p:?x0R,exmx=0,q:?xR,x2+mx+10,若p(?q)为假命题,则实数m的取值范围是( )A(,0)(2,+)B0,2CRD?参考答案:B考点:复合命题的真假 专题:函数的性质及应用分析:根据复合函数的真假关系,确定命题p,q的真假,利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论解答:解:若p(?q)为假命题,则p,?q都为假命题,即p是假命题,q是真命题,由exmx=0得m=,设f(x)=,则f(x)=,当x1时,
2、f(x)0,此时函数单调递增,当0x1时,f(x)0,此时函数单调递递减,当x0时,f(x)0,此时函数单调递递减,当x=1时,f(x)=取得极小值f(1)=e,函数f(x)=的值域为(,0)e,+),若p是假命题,则0me;若q是真命题,则由x2+mx+10,则=m240,解得2m2,综上,解得0m2故选:B点评:本题主要考查复合命题之间的关系,利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度2. 已知双曲线C1:(a0,b0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C2:(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )A x2y Bx2y Cx28y
3、 Dx216y参考答案:D略3. 如图,液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经3分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是参考答案:B略4. 若向量,满足,且,则与的夹角为( )A B C D参考答案:C略5. 对于常数,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案:B略6. 已知集合P=x|1x3,Q=x|2x1,则PQ=()A(2,1)B(2,3)C(1,3)D(1,1)参考答案:D【考点】交集及其运算 【专题】集合
4、【分析】由P与Q,求出两集合的交集即可【解答】解:P=(1,3),Q=(2,1),PQ=(1,1),故选:D【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键7. 某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:20,40),40,60), 60,80),80,100若高于80分的人数是15,则该班的学生人数是()A. 40B. 45C. 50D. 60参考答案:C【分析】根据给定的频率分布直方图,可得在之间的频率为0.3,再根据高于80分的人数是,即可求解学生的人数,得到答案【详解】由题意,根据给定的频率分布直方图,可得在80,100之间的频率为,又由高于80分的人
5、数是15,则该班的学生人数是人,故选C【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题8. 函数f(x)xsin2xcosx的大致图象有可能是ABCD参考答案:A9. 要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )A横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度参考答案:C将函数的图象上所有的点横坐标伸长
6、到原来的2倍(纵坐标不变),得到,然后向左平移个单位得到函数,选C. 10. 设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )(A) (B) (C) (D)参考答案:C【知识点】利用导数研究函数的单调性因为。故答案为:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知公差不为0的等差数列an中,a1,a2,a5依次成等比数列,则= 参考答案:9 【知识点】等差数列与等比数列的综合B4解析:a1,a2,a5成等比数列,a22=a1?a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),由d0,解得:2a1=d,=9故答案为:9【思路点拨】先利用等差数列的通项公式,用
7、a1和d分别表示出等差数列的a1,a2,a5,进而利用等比数列的性质建立等式,求得a1和d的关系,进而再利用等差数列的通项公式化简,将求出的a1和d的关系代入,合并约分后即可求出所求式子的值12. 函数的定义域为 . 参考答案:13. 已知平面上三点A、B、C满足,则的值等于_参考答案:8【分析】由三边的平方和的关系,可得ABC为直角三角形,由,两边平方结合向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值【详解】由|,|,|2,可得:即有ABC为直角三角形,由两边平方可得,即有(3+5+8)8故答案为:8【点睛】本题考查向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,注意平方法的运用,考查化简整理的运算
8、能力,属于中档题14. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.参考答案:415. 幂函数的图像经过点,则的值为 .参考答案:2略16. 在的展开式中,含的项的系数是_参考答案:1517. 已知点为圆外一点,圆上存在点使得,则实数的取值范围是 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在三棱柱中,.(1)证明:;(2)若,求三棱柱的余弦值.参考答案:()证明:设点为的中点,连接,由,知与均为等边三角形,点为的中点,可得,相交于点,所以平面,又平面,所以 ()由()知与均是边长为是等边三角形,又在中,由余弦定
9、理得,所以,故,又,以点为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系可得,设为平面的一个法向量,则,得,同理可得平面的一个法向量为,由,所以,二面角的余弦值为 19. 坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:,直线与曲线分别交于()写出曲线和直线的普通方程;()若成等比数列,求的值参考答案:()()a=1解析:()(4分)()直线的参数方程为(t为参数),代入得到,则有,因为,所以 ,即 ,即解得10分.略20. (本小题满分13分)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组
10、:第一组,第二组,第五组下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图()若成绩大于或等60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;()从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“”概率。参考答案:(I)由直方图知,成绩在内的人数为:5010(0.18+0.040)=29.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人。 3分 (II)由直方图知,成绩在内的人数为:50100.004=2,设成绩为x、y 5分成绩在90,100的人数为50100.006=3,设成绩为a、b、c, 6分若一种情况, 7分若三种情况, 8分若内时,有共有6种情况,所以基本
11、事件总数为10种, 9分事件“”所包含的基本事件个数有6种 10分 12分21. 有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.()请完成上面的列联表;()根据列联表的数据,若按的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系” ;()若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.参考公式: 参考数据:参考答案:略22. (本小题满分14分)已知椭圆的方程为,其焦点在轴上,离心率,(1)求该椭圆的标准方程(2)设动点满足,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,求证:为定值(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,给出证明,若不存在,请说明理由。参考答案:(1)由,所以椭圆方程为。(2)设,则由得,因为在椭圆上,所以,又因为,即,故=20,即(定值)(3)由(2)知,点是椭圆上的点,则由定义,必存在两个焦点,满足为定值。略