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1、4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式 第四章 数列问题引入 观察右图上面几组的图案，想一想每一组图案中从第二个图形起，每一个图形比上一个图形增加的点的个数，有什么规律？新知探索等差数列的概念问题1图中三组图案上面的点的个数可用以下三个数列：(1)1,2,3,4；(2)1,3,5,7；(3)1,4,7,10.它们有什么共同的特征？答案答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.新知探索等差数列的概念梳理一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示，可正可负可为零.2常数公差新知探索等差数
2、列的概念注意点：(1)概念的符号表示：anan1d(n2)；(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d0时，是递增数列，当d0时，是常数列，当d0时，是递减数列新知探索等差中项的概念问题2下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.新知探索等差中项的概念等差中项新知探索等差数列的通项公式问题3 你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an1and.新知探索等差数列的通项公式问题4 你能根
3、据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？由an1and，有a2a1d，a3a2d，a4a3d，.于是a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，归纳可得ana1(n1)d.新知探索等差数列的通项公式问题5 还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？anan1d，an1an2d，an2an3d，a3a2d，a2a1d.一共有 个等式，将它们进行累加，有n1 ana1(n1)d，即ana1(n1)d.(nN*)新知探索等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为：ana1(n1)d，(nN*)新知探索等差数列的通项公式问题6 观察等差数列的通
4、项公式，它与哪一类函数有关？因为ana1(n1)d所以当d0时，ana1是常值函数；当d0时，an是一次函数f(x)dx(a1d)(xR)当xn，(nN*)时的函数值，即anf(n).dn(a1d)，新知探索等差数列的通项公式问题7 等差数列an的图象与一次函数f(x)dx(a1d)的图象有什么关系?1 2a1xf(x)O3 4 5 6a1da2a3a4a5a6f(x)dx(a1d)新知探索等差数列的通项公式问题8 由一次函数f(x)kxb（k，b为常数）得到的数列anknb一定是等差数列吗？任给f(x)kxb（k，b为常数），则anknb，a1f(1)kb；anf(n)nkb，an1f(n1
5、)(n1)kb，an1an (n1)kb(nkb)k，nN*所以，数列an是以(kb)为首项，k为公差的等差数列.新知探索等差数列的通项公式数列an是公差不为0的等差数列 数列的通项公式an是关于n的一次函数.问题9 由一次函数f(x)kxb（k，b为常数）得到的数列anknb一定是等差数列吗？新知探索等差数列的通项公式问题10 可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？1 2a1xf(x)O3 4 5 6a1da2a3a4a5a6f(x)dx(a1d)1 2a6xf(x)O3 4 5 6a1da5a4a3a2a1f(x)dx(a1d)d0时，数列an单调递增;d0时，数列an单调递减.新知探
6、索等差数列的通项公式d0时，等差数列an单调递增;d0时，等差数列an单调递减;d0时，等差数列an为常数列.问题11 可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？典例精析题型一：求等差数列的通项公式例1在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.解得d2，a12.an2(n1)22n.典例精析题型一：求等差数列的通项公式反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列an中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.典例精析题型二：等差数列通项公式的应用例2 求等差数列8，5，2，的通项公式an和第
7、20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？解 由已知条件，得d583.把a18，d3代入ana1(n1)d，得an8(n1)(3)3n11，所以a203201149.令3n11289，得n100，所以289是该数列中的第100项.典例精析题型二：等差数列通项公式的应用反思与感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可(2)等差数列an的通项公式ana1(n1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“
8、知三求一”典例精析题型三：等差中项例3在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.解1，a，b，c,7成等差数列，该数列为1,1,3,5,7.典例精析题型三：等差中项典例精析题型四：等差数列的判断与证明典例精析题型四：等差数列的判断与证明反思与感悟等差数列的两个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.典例精析题型五：等差数列通项公式实际应用例5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5，5 km高度的气温是1
9、7.5，求2 km，4 km,8 km高度的气温.解用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a18.5，a517.5，由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5，an156.5n.a22，a411，a837，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2，11，37.典例精析题型五：等差数列通项公式实际应用反思与感悟解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题跟踪练习1.已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差
10、d为()A.2 B.3 C.2 D.3解析由等差数列的定义，得da2a1112.跟踪练习2.已知等差数列5，2,1，则该数列的第20项为()A.52 B.62C.62 D.52解析公差d2(5)3，a205(201)d519352.跟踪练习3.已知在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于()A.30 B.60 C.90 D.120解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因为ABC180，所以3B180，从而B60.跟踪练习4.已知等差数列1，1，3，5，89，则它的项数是()A.92 B.47C.46 D.45解析d112，设89为第n项，则891(
11、n1)d1(n1)(2)，n46.跟踪练习4跟踪练习6.某公司购置了一台价值为180万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废请确定d的取值范围(精确到0.1)解析 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列an由已知条件，得anan1d（n2）所以数列an是一个公差为d的等差数列.因为a1180d，所以an180d(n1)(d)180nd.a1018010d9，a1118011d9.解得15.6d17.1.课堂小结等差数列等差数列的概念等差数列的判断与证明等差数列的通项公式等差数列通项公式的应用
