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1、2022学年普通高中高三第二学期4月统一测试数学试题第卷一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得,由此可得出结论.【详解】任取,则,其中,所以,故,因此,.故选:C.2. 已知是互相垂直的单位向量,若,则( )A. B. C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.【详解】故选:A3. 已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D.
2、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增,则在上的最大值为,若在上的最大值为,比如,但在为减函数,在为增函数,故在上的最大值为推不出在上单调递增,故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件,故选:A.4. 已知,均为锐角,且,则的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将变形,配角利用两角差的正弦公式展开化简计算,可得关于的一元二次方程,根据列不等式求解的取值范围,即可得最大值.【详解】,即,即,又因为为锐角,所以该方程有解,即,解得又为锐角,所以的最大值是.故选:C5. 如
3、图1所示,古筝有多根弦,每根弦下有一个雁柱,雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中,每根弦都垂直于x轴,相邻两根弦间的距离为1,雁柱所在曲线的方程为,第n根弦(,从左数第1根弦在y轴上,称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线交于点(,)和(,),则( ) 参考数据:取.A. 814B. 900C. 914D. 1000【答案】C【解析】【分析】求出 ,用错位相减法求和即可.详解】由条件可得,所以,得:,所以.故选:C.6. 数列满足,且其前项和为.若,则正整数( )A. 99B. 103C. 107D. 198【答案】B【解析】【分析】根据递推公式,构造新
4、数列为等比数列,求出数列通项,再并项求和,将用表示,再结合通项公式,即可求解.【详解】由得,为等比数列,为奇数时,;为偶数时,只能为奇数,为偶数时,无解,综上所述,.故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项,合理应用条件构造数列时解题的关键,考查并项求和,考查分类讨论思想,属于较难题.7. 已知函数,若,则、的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断出函数是偶函数,且在区间上单调递增,然后比较、三个数的大小,由此可得出、的大小关系.【详解】,该函数的定义域为,所以,函数为偶函数,当时,任取,则,所以,即,所以,函数在上单调递增,则,即.故选:A.【点睛】本题考查函
5、数值的大小比较,解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性,考查推理能力,属于中等题.8. 已知定点,动点Q在圆O:上,PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点,若动点M的轨迹是双曲线,则m的值可以是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】当在圆内时,由几何性质可得,此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时,线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时,,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支,从而可得答案.【详解】当在圆内时,设与圆的另一交点为,设点为弦的中点, 则, 线段的中点在线段内,则线段的中垂线交线段于点,如图1 .连接, 则, 所以 则此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时,线段
6、的中垂线交线段于圆心.当在圆外时,设与圆的另一交点为,设点为弦的中点, 则, 线段的中点在线段内,则线段的中垂线交线段的延长线于点,如图2 .连接, 则, 所以 则此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.同理当在圆上运动时,还会得到所以动点的轨迹是双曲线,则在圆外,所以 故选: D二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 下列命题中正确的有( )A. 若复数满足,则;B. 若复数满足,则;C. 若复数满足,则;D. 若复数,则【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算性质,即可判定A正确;取,可判定B
7、不正确;取,可判断C不正确;根据复数的运算法则,可判定D正确.【详解】对于A中,设复数,可得,因为,可得,所以,所以A正确;对于B中,取,可得,所以B不正确;对于C中,例如:,则,此时,所以C不正确;对于D中,设,由,可得,即,可得,所以D正确.故选:AD10. 将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,若在上为增函数,则的值可能为( )A. B. 1C. 2D. 3【答案】ABC【解析】【分析】先利用三角函数平移得到的解析式,再利用正弦函数的性质得到的单调递增区间,结合题意可得,从而得解.【详解】依题意,由,得:,所以的单调递增区间为,因为在上为增函数,所以只考虑的一个单调递增区间,故,即
8、,解得,所以选项D不满足,选项ABC满足.故选:ABC.11. 在正三棱柱中,点满足,其中,则( )A. 当时,的周长为定值B. 当时,三棱锥的体积为定值C. 当时,有且仅有一个点,使得D. 当时,有且仅有一个点,使得平面【答案】BD【解析】【分析】对于A,由于等价向量关系,联系到一个三角形内,进而确定点的坐标;对于B,将点的运动轨迹考虑到一个三角形内,确定路线,进而考虑体积是否为定值;对于C,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数;对于D,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数【详解】易知,点在矩形内部(含边界)对于A,
9、当时,即此时线段,周长不是定值,故A错误;对于B,当时,故此时点轨迹为线段,而,平面,则有到平面的距离为定值,所以其体积为定值,故B正确对于C,当时,取,中点分别为,则,所以点轨迹为线段,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,则,所以或故均满足,故C错误;对于D,当时,取,中点为,所以点轨迹为线段设,因为,所以,所以,此时与重合,故D正确故选:BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换,关键之处在于所求点的坐标放在三角形内12. 已知函数,方程有两个不等实根,则下列选项正确的是( )A. 点是函数的零点B. ,使C. 是的极大值点D. 的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】求出函数导数,利用导数
10、求出函数的单调性,画出函数图象,数形结合即可判断每个选项.【详解】当时,则,当时,单调递增,当时,单调递减,且;当时,则,当时,单调递减,当时,单调递增,且,且恒成立,画出函数图象如下:对A,由函数图象可得0是函数的零点,故A错误;对B,由图可得,故,使,故B正确;对C,由图可得是的极大值点,故C正确;对D,方程等价于或,由图可得有1个实数根,所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根,则由图可得或,故D错误.故选:BC.第卷三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 设函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,当时,若,则_.【答案】【解析】【分析】根据题意,结合奇、偶函数的性质,列方程组
11、求出和,即可求解.【详解】根据题意,由为奇函数,得关于对称, 故,即,又,即,由 ,解得,.故答案为:.14. 已知,若,使得,若的最大值为M,最小值为N,则_.【答案】【解析】【分析】作出在上的图象,为的图象与直线y=m交点的横坐标,利用数形结合思想即可求得M和N【详解】作出在上的图象(如图所示)因为,所以当的图象与直线相交时,由函数图象可得,设前三个交点横坐标依次为、,此时和最小为N,由,得,则,;当的图象与直线相交时,设三个交点横坐标依次为、,此时和最大为,由,得,则,;所以.故答案为:.15. 已知椭圆,若上任意一点都满足,则的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用距离公式
12、将表示,配方后,分和两种情况讨论即得.【详解】设,则,因为,当即时,所以,所以,即,显然该不等式不成立,当,即时,恒成立,由,得,所以综上,离心率的范围为.故答案为:16. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿(1643-1727)给出了牛顿法用“作切线”的方法求方程的近似解如图,方程的根就是函数的零点r,取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为,一直这样下去,得到,它们越来越接近r.若,则用牛顿法得到的r的近似值约为_(结果保留两位小数).【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可.【详解】由,所以在处的切线方程为:,令,可得:,所以在处的
13、切线方程为:,令,故答案为:四解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知函数的最小正周期为8(1)求的值及函数的单调减区间;(2)若,且,求的值【答案】(1),(kZ); (2)【解析】分析】(1)化简f(x),根据最小正周期求出,再求f(x)单调减区间;(2)由求出,在结合求出,最后利用正弦的和角公式求【小问1详解】由已知可得,的最小正周期,由得,f(x)的单调递减区间为(kZ);【小问2详解】,由(1)有,即,由,知;,故 18. 已知数列是等差数列,且,成等比数列给定,记集合的元素个数为(1)求,的值;(2)求最小自然数n的值,使得【答案】(1),; (2)11【解析】【分析】(1)利用等比数列的性质求得公差,得通项公式,写出时的集合可得元素个数,即;(2)由(1)可得,然后分组求和法求得和,用估值法得时和小于2022,时和大于2022,由数列的单调性得结论【小问1详解】设数列的公差为,由,成等比数列,得,解得,所以,时,集合中元素个数为,时,集合中元素个数为;小问2详解】由(1)知,时,=20012022,记,显然数列是递增数列,所以所求的最小值是11.19. 如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的六面体中(其中平面EDC),四边形ABCD是正方形,平面ABCD,且平面平面 (1)