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1、2022学年普通高中高三第二学期4月统一测试数学试题第卷一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，故，因此，.故选：C.2. 已知是互相垂直的单位向量，若，则（ ）A. B. C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.【详解】故选：A3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D.
2、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.4. 已知，均为锐角，且，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将变形，配角利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据列不等式求解的取值范围，即可得最大值.【详解】，即，即，又因为为锐角，所以该方程有解，即，解得又为锐角，所以的最大值是.故选：C5. 如
3、图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线交于点（，）和（，），则( ) 参考数据：取.A. 814B. 900C. 914D. 1000【答案】C【解析】【分析】求出 ，用错位相减法求和即可.详解】由条件可得，所以，得：，所以.故选：C.6. 数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ）A. 99B. 103C. 107D. 198【答案】B【解析】【分析】根据递推公式，构造新
4、数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由得，为等比数列，为奇数时，；为偶数时，只能为奇数，为偶数时，无解，综上所述，.故选：B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.7. 已知函数，若，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断出函数是偶函数，且在区间上单调递增，然后比较、三个数的大小，由此可得出、的大小关系.【详解】，该函数的定义域为，所以，函数为偶函数，当时，任取，则，所以，即，所以，函数在上单调递增，则，即.故选：A.【点睛】本题考查函
5、数值的大小比较，解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性，考查推理能力，属于中等题.8. 已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点, 则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .连接, 则, 所以 则此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时，线段
6、的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点, 则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .连接, 则, 所以 则此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.同理当在圆上运动时，还会得到所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以 故选： D二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列命题中正确的有（ ）A. 若复数满足，则；B. 若复数满足，则；C. 若复数满足，则；D. 若复数，则【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B
7、不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.【详解】对于A中，设复数，可得，因为，可得，所以，所以A正确；对于B中，取，可得，所以B不正确；对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.故选：AD10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（ ）A. B. 1C. 2D. 3【答案】ABC【解析】【分析】先利用三角函数平移得到的解析式，再利用正弦函数的性质得到的单调递增区间，结合题意可得，从而得解.【详解】依题意，由，得：，所以的单调递增区间为，因为在上为增函数，所以只考虑的一个单调递增区间，故，即
8、，解得，所以选项D不满足，选项ABC满足.故选：ABC.11. 在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A. 当时，的周长为定值B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，有且仅有一个点，使得D. 当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数【详解】易知，点在矩形内部（含边界）对于A，
9、当时，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确对于C，当时，取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则，所以或故均满足，故C错误；对于D，当时，取，中点为，所以点轨迹为线段设，因为，所以，所以，此时与重合，故D正确故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内12. 已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）A. 点是函数的零点B. ，使C. 是的极大值点D. 的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】求出函数导数，利用导数
10、求出函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可判断每个选项.【详解】当时，则，当时，单调递增，当时，单调递减，且；当时，则，当时，单调递减，当时，单调递增，且，且恒成立，画出函数图象如下：对A，由函数图象可得0是函数的零点，故A错误；对B，由图可得，故，使，故B正确；对C，由图可得是的极大值点，故C正确；对D，方程等价于或，由图可得有1个实数根，所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根，则由图可得或，故D错误.故选：BC.第卷三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组
11、求出和，即可求解.【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称， 故，即，又，即，由 ，解得，.故答案为：.14. 已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则_.【答案】【解析】【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N【详解】作出在上的图象（如图所示）因为，所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为、，此时和最小为N，由，得，则，；当的图象与直线相交时，设三个交点横坐标依次为、，此时和最大为，由，得，则，；所以.故答案为：.15. 已知椭圆，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用距离公式
12、将表示，配方后，分和两种情况讨论即得.【详解】设，则，因为，当即时，所以，所以，即，显然该不等式不成立，当，即时，恒成立，由，得，所以综上，离心率的范围为.故答案为：16. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为_（结果保留两位小数）.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可.【详解】由，所以在处的切线方程为：，令，可得：，所以在处的
13、切线方程为：，令，故答案为：四解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知函数的最小正周期为8（1）求的值及函数的单调减区间；（2）若，且，求的值【答案】（1），(kZ)； （2）【解析】分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出，再求f(x)单调减区间；(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求【小问1详解】由已知可得，的最小正周期，由得，f(x)的单调递减区间为(kZ)；【小问2详解】，由(1)有，即，由，知；，故 18. 已知数列是等差数列，且，成等比数列给定，记集合的元素个数为（1）求，的值；（2）求最小自然数n的值，使得【答案】（1），； （2）11【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质求得公差，得通项公式，写出时的集合可得元素个数，即；（2）由（1）可得，然后分组求和法求得和，用估值法得时和小于2022，时和大于2022，由数列的单调性得结论【小问1详解】设数列的公差为，由，成等比数列，得，解得，所以，时，集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；小问2详解】由（1）知，时，=20012022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且平面平面 （1）
