题型九 二次函数综合题 类型三 二次函数与面积有关的问题（专题训练）1.已知二次函数，其中．(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．【答案】(1)(2)见解析(3)最大值为【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．(1)解：将代入，解得．由，则符合题意，∴，∴．(2)解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为当时，，∴．将代入，解得．∵在轴的负半轴上，∴．∴．过点作，垂足为，∵，∴．在中，,∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．（1）________，________；（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，），再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．【详解】解：（1）∵点A和点B在二次函数图像上，则，解得：，故答案为：-2，-3；（2）连接BC，由题意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），，∴S△ABC==6，∵S△ABD=2S△ABC，设点D（m，），∴，即，解得：x=或，代入，可得：y值都为6，∴D（，6）或（，6）；（3）设P（n，），∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，∴n＜-1或n＞3，当点P在点A左侧时，即n＜-1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，∴，不成立；当点P在点B右侧时，即n＞3，∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，设直线BC的解析式为y=kx+p，则，解得：，则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，则-1+q=0，解得：q=1，则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，）代入，即，解得：n=4或n=-1（舍），，∴点P的坐标为（4，5）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．3.已知：直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一动点，连接，为锐角，在上方以为边作正方形，连接，设．（1）如图1，当点段上时，判断与的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点的坐标（用含的式子表示）；（3）若，经过点的抛物线顶点为，且有，的面积为．当时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE⊥AB，理由见解析；（2）（）；（3）【分析】（1）先求出点A、B的坐标，则可判断△AOB是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明△AOC≌△BOE（SAS），可得∠OBE=∠OAC=45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证△MOC≌△NEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的结论可得AC=BE=t，然后解等腰直角△ACM，可求出，进而可得答案；（3）由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2，然后由（2）可求出当时k=1，进一步即可求出点P的纵坐标，从而可得顶点P的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）BE⊥AB，理由如下：对于直线y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，∴B（0，1），A（1，0），∴OA=OB=1，∴∠OBA=∠OAB=45°，∵四边形OCDE是正方形，∴OC=OE，∠COE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAC=45°，∴∠EBC=∠EBO+∠OBA=45°+45°=90°，即BE⊥AB；（2）作CM⊥OA于点M，作EN⊥x轴于点N，如图1，则∠CMO=∠ENO=90°，∵∠EON+∠NEO=∠EON+∠COM=90°，∴∠NEO=∠COM，又∵OC=OE，∴△MOC≌△NEO，∴CM=ON，OM=EN，在△ACM中，∠CMA=90°，∠MAC=45°，AC=BE=t，∴，∴，∵点E在第二象限，∴点E的坐标是（）；（3）∵抛物线过点A（1，0），∴a+b+c=0，∵，∴消去c可得b=-4a，∴抛物线的对称轴是直线x=2，如图1，当时，由（2）可得，∴，∴，∴，即k=1，∴△POA的面积为，即，解得，∵a＞0，∴顶点P的纵坐标是-1，∴点P（2，-1），设，把点A（1，0）代入，可求得a=1，∴抛物线的解析式是．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为（3-2t，4-t），∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M点的坐标为（，）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，∴C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为∵点D与点C关于直线l对称，∴D（3，-4），∵A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；∴，解得：，∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，设P（m，m2-3m-4），作PE∥y轴交直线AD于E，∴E（m，-m-1），∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴，∴，∴当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵，，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，∴平移后y1=x2-11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：，∵P（1，-6），∴E（5，-10），∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴∴或或【点睛】本题是二次函数综。
