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1、十、几何初步知识279. 什么叫做几何学和几何图形？几何学是数学的一门分科，它是研究物体的形状、大小和相互位置关 系的科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。在我们的周围世界里，各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置 关系。例如：课桌的桌面是长方形的，魔方的每个面是正方形的，各种车 轮的形状是圆的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一样的；汽车 有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相同。还应该看到，物 体与物体之间，有着相互位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右关 系等。公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的 几何知识，并加以系统整理，按
2、照图形在平面或空间的形式，在几何学中 分岀了 “平面几何”和“立体几何”两个分支。由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，根据研 究结果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合 而成的，也是点、线、面的集合。一个图形所有的点，都在同一平面内， 这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和 圆等图形，都是平面几何图形。如果一个图形的点不全在同一平面内，这 个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都 属于立体几何图形。280. 什么叫做爲线、面、体？点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割 的。线和线相交
3、于一个点。也可以理解为“点”是“线的界限。在几何中，用大写字母表示点。如，图中的A点、B点、C点。线：如果两个面相交，就会交岀一条线来。也就是面和面相交于线。 张纸对折起来的痕迹就是“线。也可以理解为“线”是“面的界限。线有直线和曲线等。如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是 长方体的一条棱），就是直线。圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线， 就是曲线。线只是面与面相交的界限，它没有大小（即粗细）,只有长短，或者 说，线只有长，而没有宽和高。面：任何物体都占一定的空间，都是用它的表面和周围分割开来。因 此，可以说“体是由“面围成的。如：课本的封面、黑板的面、粉笔 的截面、水桶的侧面和底面等都
4、是“面。也可以理解为“面是“体” 的界限。由于面是物体的表面，如果放弃物体的本身，只单独想象物体的表面, 这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的（即：高），所以，面 只有长和宽，而没有高。体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如 颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体“。 例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒，虽然它们的颜色、重量、硬度 以及制作材料都不同，只要它们的形状、大小都相同，就可以认为它们是 完全相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说，它们是两个相同的长方 体。281. 直线、射线和线段有什么不同？直线、射线和线段是易于混淆的三个概
5、念，它们之间也是有联系的， 直线是基础，射线和线段是直线概念的发展。它们也是有区别的，这是它 们之间的主要方面。首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成的图形 就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线，都给人以直线的形象。我们把 直线看作可以向两方无限延伸的，直线是无头无尾的，即是没有端点的。直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。例如，直线 AB,或直线BA；也可以用一个小写字母表示一条直线。例如，直线1 （如 下图）。经过一点，可以画无数多条直线，但是，经过两点却只能画岀一条直 线，这就是直线的基本性质。除此之外，两条直线相交，只有一个交点。其次看射线，在直线上某一点一
6、旁的部分叫做射线。这一点叫做射线 的端点。射线的另一端是可以无限延伸的，因此，没有端点。射线只有一 个端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射岀的光线，都可以看 作射线的实际例子。射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示， 并且把表示端点的字母写在前面。例如，以点0为端点的射线，可以在射 线上再取一点A,记作：射线0A （如图）。最后再看线段，直线上任意两点间的部分叫做线段。具有一定长度的 拉直了的细绳，可看作线段的实际例子。线段是有长短的，因此可以进行 度量。线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。例如，线段AB, 或者线段BA。也可以用一个小写字母表示。例如，线段
7、a （如下图）。在连结两点的所有线中，线段最短。这就是线段的基本性质。282. 什么叫做“角” ?几何中所指的角的定义是：从一点画岀的两条射线所组成的图形, 叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”， 构成角的两条射线，叫做角的“边”。角的大小与两边的长短无关，只与角两边的相互位置关系有关。这一 点，在初学时很容易混淆，必须引起注意。角用符号“匕”来表示。如：从图2中可以看到:角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成 的。个角一般有以下三种表示方法：(1) 用“匕”与三个大写字母表示角。如：（图4）图3中的角记作：ZAOB；图4中的角记作：ZBOC, ZAOB, ZAO
8、Co(2) 用“匕”与一个大写字母表示角。这里所指的一个大写字母，应该是角顶上的字母。而且这种用一个大 写字母表示角的方法，只适用于单个的角。如图3,用Z0来表示，如果 是具有共同顶点的两个或两个以上的角时，则不能用这种方法来表示角。 如图4,如果用/Q来表示，就表述不清到底/0表示哪个角。(3) 用与一个小写希腊字母或一个数字表示角。例如：下图中下角分别记作:ZK Z2s ZQs ZPo283. 几何中的角可分为哪聞？(1) 周角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到这条 射线回到它的原来的位置时，就形成了一个周角。如图图中的皿绕它的端点0.按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来 的位
9、置，形成了一个周角。一个周角等于360 ,个周角是一个平角的 2倍。（2）平角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到和原 来位置成为一条直线，这时所成的角，叫做平角。如图图中的射线0A绕它的端点0,按逆时针方向旋转，转到射线0B的位 置上（射线0A与射线0B构成一条直线），形成一个平角。一个平角等于180度，记作180。（3）优角：一个大于平角又小于周角的角，叫做优角。优角在小学 数学教材中没有岀现，但在教学中常常遇到学生提岀这样的问题：比周角 小又比平角大的角叫什么角？ 181。的角是什么角等等。如图优角大于180，小于360。（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。如图直角通常记作
10、“RTN”。直角的大小通常用d来表示，这样，平角等 于2d,周角等于44。（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。如图钝角的度数大于90 ,小于180。(6) 锐角：小于直角的角叫做锐角。如图匕0 A锐角小于90。(7) 余角：当两个锐角ZAOB与ZBOC之和等于一个直角ZAOC时， 其中一个角ZBOC叫做另一个角ZAOB的余角。这两个角叫做互为余角。如图(8) 邻角：当两个角有一个公共的顶点，有一条公共的边，这两个 角另外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。如图图中的OC是ZAOC与ZCOB的公共边，ZAOC是ZCOB的邻角；ZBOC 也是/COA的邻角(9) 补角：两个角的
11、和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是 说，其中任个角是另个角的补角。如图图中的/I是Z2的补角，匕2是匕1的补角，或者说，匕1与匕2互 为补角。(10) 对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线 所夹的角，叫做原角的对顶角。如图图中的/AOD 与 ZBOCs /AOB 与 ZDOC；两对顶角是相等的。图中的ZAOD=ZBOC； ZAOB = ZDOC；。(11) 三线八角：两条直线被第三条直线所截，所得的八个角，叫做三线八角。图中的11、12、13和匕1、匕2、Z3s匕4、匕5、匕6、匕7、Z8 就是三线八角。按上述八个角的相互位置，给以下列不同名称： 同位角：当形成三线八角
12、时，如果有两个角分别在两条直线的同一 方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角。如图中的/I与匕5、匕2与匕6、Z4与Z8、匕3与匕7都是同位角。 内错角:如果两个角都在两直线的内侧,并且在第三条直线的两侧, 那么这样的一对角叫做内错角。图中的/6与Z6、匕4与匕5都是内错角。 外错角:如果两个角都在两直线的外侧,并且在第三条直线的两侧, 那么这样的一对角叫做外错角。图中的/I与Z8、匕2与匕7都是外错角。 同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线 的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角。图中的/3与Z5、匕4与匕6都是同旁内角。 同旁外角：如果有两个角都在两条
13、直线的外侧，并且在第三条直线 的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。图中的/I与Z7、匕2与匕8都是同旁外角。284. 垂直和垂线有什么不同？垂直和垂线是两个不同的概念。垂直的含义是:两条直线相交成直角， 这两条直线叫做互相垂直。图中的直线AE.与直线CD相交于0,并且它们所成的角等于90 ,因 此，直线AB与CD互相垂直。在两条相互垂直的直线中，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它 们的交点叫做垂足。垂直通常用符号“丄”来表示。如图中的AB垂直于CD,可记作AB 1CD,读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表示岀来，也可以写作AB 丄CD于0,读作：AB垂直于CD于0点。垂线还具有以下两个
14、性质：(1) 经过一宸且只有一条直线垂直于已知直线；(2) 从直线夕、一点到这条线上的各点所连结的线段中，和这条直线 垂直的线段最短。画垂线时的要点是什么？通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板画垂线；另 种是借助“直尺、圆规”来画垂线。用三角板画一条直线的垂线，一般所给的条件有两种：（1）过直线夕、一点画这条直线的垂线。（2）过直线上的一点画这条直线的垂线。如图：例如：已知点P是直线AB外的一点，用三角板过P点作P0垂直于ABo如图，把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直 角边与直线AB重合），并沿AB移动，使另一条直角边靠上P点，固定住 三角板，并用铅笔沿着这另一条
15、直角边画一条直线P0,直线P0与直线AB 交于0点，这样，P就是直线AB的垂线。用一个三角板作垂线时，往往在接近垂足0点处的一段不容易作得很 好。可以釆用另一种方法，如图所示:用两个三角板,把一个三角板（如 虚线中的三角板）先固定住，然后把另一个三角板与它靠紧，再拿去第一 个三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠 上P点的一条边）画一条直线P0。这种方法的关键是第二个三角板靠P 点的一条边与直线AB相交，因此，在垂足0处，可以画得准确些。又如：已知点P是直线AB上的一点，用三角板过P点作PC垂直于直 线AB。图如图：图如图，把三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿着AB移动，使另 条直角边靠上P点(即直角顶点靠上P点)时，把三角板固定，并且用 铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点，则PC是AB 的垂线。与上例相同，也可以按图所示，用两个三角板，当第一个三角板的 条直角边靠在直线AB上，沿AB移动到另一条直角边靠上P点时，固定 住三角板，把第二个三角板的一条边与它靠紧，然后拿掉第一个三角板， 用铅笔沿第二
