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1、蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合再求即可.【详解】因为集合，则.故选：B.2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定的条件，利用复数除法运算求出即可作答.【详解】依题意，所以.故选：D3. 已知等差数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差中项求解即可.【详解】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A4
2、. 已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【详解】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：，B错误；对C：由或，知且，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，D错误.故选：C5. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.【详解】由点单位圆上，则，解得，由锐角，即，则，故，所以.故选：D6. 如图是函数
3、图象的一部分，设函数，则可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合定义域分析判断.【详解】因为，所以为偶函数，为奇函数.可知，为非奇非偶函数，为奇函数，由图可知：为奇函数，故A、C错误；由于，令，可得，故的定义域为.又因为的定义域为，所以D错误；故选：B.7. 在中，已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算利用表示可得，解出，再利用即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以，即，所以，故选：A8. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若 为等边三角形，且面积为，则（
4、 ）A. B. C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】作图，分析几何关系得到四边形OABF是菱形，利用条件即可求出 .【详解】由题意作上图，显然四边形 是平行四边形，又 是等边三角形， 是菱形，由于 ， 的AB边上的高 ，即 ， 的方程为： ，A在上， ， ； 故选：C.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内.从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分
5、成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）A. 样本中分数落在的频数为60人B. 样本的众数为75分C. 样本的平均数为73.5分D. 样本的80百分位数为85分【答案】BC【解析】【分析】利用直方图求频数，分析样本众数、平均数及80百分位数判断各项正误.【详解】由直方图，的频率为，所以分数落在的频数为人，A错；而的频率为，为各组最大，故样本的众数为75分，B对；样本平均数为，C对；由，所以80百分位数在，设为，则，可得分，D错.故选：BC10. 袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回
6、.记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件；“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABCD【解析】【分析】求出，根据条件概率公式计算可得答案.【详解】因为，事件有两种情况，第一次摸到红球，第二次摸到红球；第一次摸到蓝球，第二次摸到红球；，事件有两种情况，第一次摸到红球，第二次摸到蓝球；第一次摸到蓝球，第二次摸到蓝球；,所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：ABCD.11. 已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ）A. 直线与所成角的正切值为B. 直
7、线平面C. 平面平面D. 到直线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】把直线与所成的角，转化为直线与所成的角，在直角中，求得所成的角的正切值为，可判定A不正确；由，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定B正确；由 平面，得到平面，结合面面垂直的判定定理，可判定C正确；设，证得，得到即为点到直线的距离，在直角中求得，可判定D正确.【详解】对于A中，在正方体中，可得，所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，取的中点，连接和，在直角中，即异面直线与所成的角的正切值为，所以A不正确；对于B中，因为点分别是棱的中点，可得，又因为平面，平面，所以直线平面，所以B正确；对于C中，在正方体中，可得平
8、面，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以C正确；对于D中，设，因为平面，且平面，可得，所以即为点到直线的距离，在直角中，所以，即到直线的距离为，所以D正确.故选：BCD.12. 设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的一个周期为8D. 函数为奇函数【答案】AC【解析】【分析】由，可得，由的图象关于直线对称，则，据此可判断各选项正误.【详解】因，两边求导可得.的图象关于直线对称，则.A选项，由可得，由可得，则，即函数的图象关于点对称，故A正确；B选项，若函数的图象关于直
9、线对称，则.又，则.即是常函数，但不一定是常函数，故B错误；C选项，由可得.由可得，又，则，则函数的一个周期为8，故C正确；D选项，若函数为奇函数，则.由可得.又，则，得的一个周期为4，但题目条件不足以说明的周期情况，故D错误.故选：AC三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，则在上的投影向量为_.（用坐标表示）【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合投影向量的意义求解作答.【详解】因为，则有，所以在上的投影向量为故答案为：14. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.公路里程高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊平衡盾构机等国之
10、重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切.若，则该模型中最小小球的半径为_.【答案】#【解析】【分析】设E为底面的中心，F为CD的中点，O为大球的球心，大正四面体的棱长为a，高为h，利用，求得正四面体内切球的半径为正四面体的高为四分之一求解.【详解】解：如图所示：设 O为大球的球心，大正四面体的底面中心为E，CD的中点为F，棱长为a，高为h，连接OA，OB，OC，OD，则，大球所对应的正四面体的高为，因为，所以，所以，因为大正四面体的棱长为12，所以 ，故答案为：15. 已知抛物线的
11、焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则_.【答案】1【解析】【分析】根据，得到为外接圆的直径，为外接圆的直径，从而有，再结合抛物线得到求解.【详解】解：如图所示：因为，所以为外接圆的直径，为外接圆的直径，所以，由抛物线的定义得，则，所以，所以，则，所以，故答案为：116. 函数的部分图象如图所示，若，且，则_，_.【答案】 . # . #【解析】【分析】根据函数图象求得，由关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称确定，再，应用平方关系、诱导公式即倍角余弦公式求值即可.【详解】由题设，又，则，则，故，由且是y轴左侧第一个零点，故，即，则，由图知：关于函数图象中
12、y轴右侧第一个零点对称，即对称，所以，由，且，所以，而，则.故答案为：，四解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出说明文字演算式证明步骤.17. 已知的内角，所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.（2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可.【小问1详解】，由正弦定理得，又，.【小问2详解】，由题意知，故.的周长为.18. 已知数列和，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）通过
13、题中关系，可构造出数列为等比数列，进而求和.（2），可利用分组求和和错位相减求和法解题.【小问1详解】由，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，.【小问2详解】，设，则，两式相减得，从而.19. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文数学外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治历史地理物理化学生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理化学生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理化学生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机
14、抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理化学生物的科目数123人数104050（1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理化学生物科目数量相等的概率；（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选考物理化学生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的数学期望；（3）用频率估计概率，现从学生群体中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理化学生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）由题，可知总情况数为，2人选考科目数量分别为1，2，3的情况数，据此可得答案；（2）由题意可知的可能取值分别为，分别求得时概率即可得答案；
