内蒙古自治区兴安盟成考专升本考试2023年高等数学一自考真题附答案学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1. A.1 B.0 C.-1 D.-22.过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是( )．A.A.(1，0) B.(e，0) C.(e，1) D.(e，e)3.下列命题中正确的有（ ）．A.A.B.C.D.4.在空间中，方程y=x2表示( )A.xOy平面的曲线 B.母线平行于Oy轴的抛物柱面 C.母线平行于Oz轴的抛物柱面 D.抛物面5.为二次积分为（ ）A.B.C.D.6.若在(a，b)内f'(x)<0，f''(x)<0，则f(x)在(a，b)内( )A.单减，凸 B.单增，凹 C.单减，凹 D.单增，凸7.8.下面选项中，不属于牛顿动力学基础中的定律的是( )A.惯性定律：无外力作用时，质点将保持原来的运动状态(静止或匀速直线运动状态)B.运动定律：质点因受外力作用而产生的加速度，其方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比C.作用与反作用定律：两个物体问的作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在这两个物体上D.刚化定律：变形体在某一力系作用下，处于平衡状态时，若假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变9.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是( )A.A.B.C.D.10. 11.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。
A.aexB.axexC.aex+bxD.axex+bx12.A.B.0C.ln 2D.-ln 213.A.0 B.1 C.2 D.-114.（ ）A.A.1/2 B.1 C.2 D.e15.16.A.A.∞ B.1 C.0 D.－117.设平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0则平面π1与π2的位置关系是A.A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.平行但不重合 D.重合18.19.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的( )A.充要条件 B.充分条件 C.必要条件 D.无关条件20. A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线，又有铅直渐近线C.仅有铅直渐近线D.既无水平渐近线，又无铅直渐近线二、填空题(20题)21.22.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.23.24.25.过原点且与直线垂直的平面方程为______．26. 27. 28. 29.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为 ．30.曲线y=(x+1)/(2x+1)的水平渐近线方程为_________.31.32. 33.34.35.设z=tan(xy-x2)，则=______．36.设y=e3x知，则y'_______。
37.38.39.40.三、计算题(20题)41. 42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?43. 44.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则45.46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．48.证明：49. 50.51. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．52.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值．53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．54. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．55. 求微分方程的通解．56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．57.58. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．59.60. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．四、解答题(10题)61.62.63. 64.65.66.67.求68. 求∫sin(x+2)dx。
69.70.五、高等数学(0题)71.六、解答题(0题)72.求y"+4y'+4y=e-x的通解．参考答案1.A本题考查的知识点为导数公式．可知应选A．2.D本题考查的知识点为导数的几何意义．由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f'(x0)．由于y=xlnx，可知y'=1+lnx，切线与已知直线y=2x平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有1+lnx0=2，可解得x0=e，从而知y0=x0lnx0=elne=e．故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．3.B本题考查的知识点为级数的性质．可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．4.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C5.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分由于在极坐标系下积分区域D可以表示为故知应选A6.A∵f'(x)<0，f(x)单减；f''(x)<0，f(x)凸∴f(x)在(a，b)内单减且凸7.C8.D9.C本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系．连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则(1)f(x)在点x0处必定有定义；(2)必定存在；(3)由此可知所给命题C正确，A，B不正确．注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C．本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系．若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续．但是其逆命题不成立．10.D解析：11.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。
方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B12.A为初等函数，定义区间为，点x=1在该定义区间内，因此故选A．13.C14.C15.C16.C本题考查的知识点为导数的几何意义．17.A平面π1的法线向量n1=(2，1，4)，平面π2的法线向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0可知两平面垂直，因此选A18.D19.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定∴可导是可积的充分条件20.A21.22.23.24.本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题25.2x+y-3z=0本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=026.yxy-127.-3sin3x-3sin3x 解析：28.1/x29.y＝f(1)．本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为y—f(1)＝0．本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为y－f(x0)＝f(x)(x－x0)而导致错误．本例中错误地写为y－f(1)＝f(x)(x－1)．本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为y－1＝0．30.y=1/2本题考查了水平渐近线方程的知识点。
31.1/6本题考查的知识点为计算二重积分．32.333.34.|x|35.本题考查的知识点为二元函数的偏导数．z=tan(xy-x2)，36.3e3x37.(－∞，＋∞)．本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．38.本题考查的知识点为偏导数的运算由于z=x2+3xy+2y2-y，可得 39.40. 本题考查的知识点为不定积分计算．41.则42.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％43.44.由等价无穷小量的定义可知45.46.47.列表：说明48.49. 由一阶线性微分方程通解公式有50.51. 函数的定义域为注意52.53.由二重积分物理意义知54.55.56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，57.58.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为59.60.61.62.63.64.65.66.67. 68.∫sin(x+2)dx=∫sin(x+2)d(x+2)=-cos(x+2)+C。
69.70.71.72.相应的齐次方程为y"+4y'+4y=0，特征方程为 r2+4r+4=0，即(r+2)2=0．特征根为r=-2(二重根)．齐次方程的通解Y=(C1+C2x)e-2x．设所给方程的特解y*=Ae-x，代入所给方程可得A=1，从而y*=e-x．。