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1、北京孙村中学2022年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法正确的是（）A“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件B若数据x1，x2，x3，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，2xn的方差为2C在区间0，上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx”发生的概率为D已知随机变量X服从正态分布N（2，2），且P（X4）=0.84，则P（X0）=0.16参考答案：D考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： A“pq为真”可知p，q为真命题，可得“pq为真”，反之不成立，即可判断出正
2、误；B利用方差的性质即可判断出正误；C由sinx+cosx=化为，解得x，利用几何概率计算公式即可得出，进而判断出正误；D利用正态分布的对称性可得P（X0）=P（X4）=1P（X4），即可判断出正误解答： 解：A“pq为真”可知p，q为真命题，可得“pq为真”，反之不成立，因此“pq为真”是“pq为真”必要不充分条件，因此不正确；B数据x1，x2，x3，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，2xn的方差为4，因此不正确；C在区间0，上随机取一个数x，由sinx+cosx=化为，解得x，事件“sinx+cosx”发生的概率=，因此不正确；D随机变量X服从正态分布N（2，2），且P（X4）=0
3、.84，则P（X0）=P（X4）=1P（X4）=0.16，因此正确故选：D点评： 本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、几何概率计算公式、正态分布的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： 是的充要条件； 是的充分条件而不是必要条件； 是的必要条件而不是充分条件； 是的必要条件而不是充分条件； 是的充分条件而不是必要条件 则正确命题的序号是 （ ） A B C D参考答案：B略3. 定义运算，如，令，则为（ ）BBA.奇函数，值域 B.偶函数，值域C.非奇非偶函数，值域 D.偶函数，值域参考答案
4、：B4. 设函数f（x）=x2+3x4，则y=f（x+1）的单调递减区间为 （ ） A（4，1） B（5，0） C（） D（）参考答案：B5. 若，则（ ）A B C D 参考答案：D，故选：D6. 已知函数，把该函数的图象向左平移个单位后得到一个偶函数的图象，则的值可以是 A B C D参考答案：B7. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）ABCD参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cos与的值【解答】解：设向量与的夹角为，0，由?（+）=3可得?+=3，代入数据可得21cos+22=3，解得cos=，=故选：C【点评】本题考查了数
5、量积与两个向量的夹角问题，是基础题8. 下列不等式中，解集是R的是()Ax22x10 B0 C ()210 D3x23x参考答案：D9. 若函数f（x）=ax2lnx在（0，1上存在唯一零点，则实数a的取值范围是（）A 0，2eB0，CC、（，1D（，0参考答案：略10. 已知函数的部分图像如图所示，则的图像可由函数的图像（纵坐标不变）（ ）A先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位C先向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D先向右平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的倍参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4
6、分,共28分11. 设a=lg2，b=20.5，c=cos，则a，b，c按由小到大的顺序是 参考答案：cab【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出【解答】解：a=lg2（0，1），b=20.51，0，cab故答案为：cab【点评】本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12. 若，且sinsin0，则下列关系式：；+0；22；22其中正确的序号是：参考答案：【考点】GA：三角函数线【分析】构造函数f（x）=xsinx，x，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xs
7、inx，x0，与x，0上的单调性，从而可选出正确答案【解答】解：令f（x）=xsinx，x，f（x）=x?sin（x）=x?sinx=f（x），f（x）=xsinx，x，为偶函数又f（x）=sinx+xcosx，当x0，f（x）0，即f（x）=xsinx在x0，单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x，0单调递减；当0|时，f（）f（），即sinsin0，反之也成立，22故答案为13. 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若此三棱柱的外接球的表面积为6，则AB=_参考答案：2【分析】根据直三棱柱的几何性质和 ，可知直三棱柱的外接球的球心是的中点，这样通过计算可以求出的长度.【详解】设
8、三棱柱的外接球的半径为由于直三棱柱的外接球的球心是的中点，所以，在，中，所以在中，.【点睛】本题考查了已知直三棱柱的外接球的表面积求底面边长问题，考查了空间想象能力、运算能力.14. 已知为等差数列，为其前项和.若，则公差_；的最小值为 . 参考答案：12；-54试题分析：由得，因，故；，当时，当时， ，故的最小值为考点：等差数列的性质15. 下列说法中正确的有_刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大有10个阄，其中一个代表奖品，1
9、0个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。参考答案：16. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 参考答案：17. 等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，。给出下列结论：；的值是中最大的；使成立的最大自然数等于18。其中正确结论的序号是 。参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分8分)某省为了确定合理的阶梯电价分档方案，对全省居民用量进行了一次抽样调查，得到居民月用电量（单位：度）的
10、频率分布直方图（如图所示）。求：（1）由频率分布直方图可估计，居民月用电量的众数是多少？（2）若要求80%的居民能按基本档的电量收费，则基本档的月用电量应定为多少度？参考答案：（1）由图可知，居民用量的众数为1703分（2）因为所以，基本档的月用电量应定为180度6分19. （本小题满分14分）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.（）求椭圆的方程；（）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围；（）作直线与椭圆交于不同的两点,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值
11、.参考答案：（）；（）或； （）满足条件的实数的值为或.（）由()知椭圆的方程为 设,，由于,所以有 7分又是椭圆上的一点,则所以解得：或 9分（）由, 设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为把它代入椭圆的方程,消去,整理得: 由韦达定理得,则,所以线段的中点坐标为20. 已知等比数列an的首项为2，等差数列bn的前n项和为Sn，且， ，.（）求an，bn的通项公式；（）设，求数列cn的前n项和.参考答案：（），；（）.【分析】（）的公差为d，由题意,利用等差数列的通项公式得q,求得，再列的方程，利用等差数列即可得出（II）利用分组求和法求和公式即可【详解】（）设数列的公比为，数列的公差为.由，得.因为，所以.所以.由得解得所以.（）由（）知，.所以.从而数列的前项和21. （本小题满分12分） 已知函数 （）求的最小正周期； （）求在区间上的最大值和最小值参考答案：解：（） 函数的最小正周期 6分（）， 9分 在区间上的最大值为，最小值为0 12分略22. （12分）已知函数，为自然对数的底，（1）求的最值；（2）若关于方程有两个不同解，求的范围.参考答案：解：（1），定义域为，令，解得，当时，；当时，所以；（2）由（1）可知在时，取得最大值，要让方程有两个不同解，结合图像可知：，解得。略
