湖南省娄底市成考专升本2023年高等数学一自考真题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1. 2. 3. 4. 设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于( )．A.1 B.0 C.-1/2 D.-15.方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是( )A.椭球面 B.锥面 C.旋转抛物面 D.柱面6.微分方程y''-2y'=x的特解应设为A.Ax B.Ax+B C.Ax2+Bx D.Ax2+Bx+C7. 8.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=( )A.sinx+xcosx B.sinx-xcosx C.xcosx-sinx D.-(sinx+xcosx)9.极限等于( )．A.A.e1/2 B.e C.e2 D.110.设y=x＋sinx，则y=（ ）A.A.sinxB.xC.x＋cosxD.1＋cosx11.12. 13.14.设y=2-x，则y'等于( )A.2-xxB.-2-xC.2-xln2D.-2-xln215.16. 17.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为（ ）．A.A.B.C.D.不能确定18.19.20.设x2是f(x)的一个原函数，则f(x)=A.A.2xB.x3C.(1/3)x3+CD.3x3+C二、填空题(20题)21.22.23.幂级数的收敛半径为________。
24.25. 26.27.28.29.30.31. 设y=-lnx/x，则dy=_________32.33.34. 35.36.设f(x)=sin(lnx)，求f(x)=__________．37.38. 39. 40. 三、计算题(20题)41.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值．42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．43. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．45. 求微分方程的通解．46.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则47.48. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．49. 50.51. 52.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．53.54.证明：55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?56. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．57.58.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．59. 60. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)61.62. 63.64.65. 求通过点(1，2)的曲线方程，使此曲线在[1，x]上形成的曲边梯形面积的值等于此曲线弧终点的横坐标x与纵坐标y乘积的2倍减去4。
66.67. 68. 69. 求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及Y轴围成的平面图形的面积·70.五、高等数学(0题)71.设f(x)在x=a某邻域内连续且f(a)为极大值，则存在δ>0，当x∈(a一δ，a+δ)时，必有( )A.(x—a)[f(x)一f(a)]≥0B.(x—a)[f(x)一f(a)]≤0C.D.六、解答题(0题)72. 参考答案1.A解析：2.C3.D4.C解析：5.B对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面，故选B6.C因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0，r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.7.B8.A9.C本题考查的知识点为重要极限公式．由于，可知应选C．10.D11.C12.B解析：13.C14.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则由于 y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易错误选C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记：若y=f(u)，u=u(x)，则不要丢项15.A16.D17.B本题考查的知识点为定积分的几何意义．由定积分的几何意义可知应选B．常见的错误是选C．如果画个草图，则可以避免这类错误．18.D19.D20.A由于x2为f(x)的一个原函数，由原函数的定义可知f(x)=(x2)'=2x，故选A。
21.3/2本题考查了函数极限的四则运算的知识点22.23.所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径R==124.2本题考查的知识点为二阶导数的运算．f'(x)=(x2)'=2x，f"(x)=(2x)'=2．25.(1+x)ex(1+x)ex 解析：26.27.本题考查的知识点为二重积分的计算．28.e-2本题考查了函数的极限的知识点，29.本题考查的知识点为偏导数的运算由于z=x2+3xy+2y2-y，可得 30.31.32.33.答案：134.y=xe+Cy=xe+C 解析：35.36. 37.1/3本题考查了定积分的知识点38.039.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C40.141.42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，43. 函数的定义域为注意44.45.46.由等价无穷小量的定义可知47.48.49.则50.51.52.列表：说明53.54.55.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％56.57.58.由二重积分物理意义知59. 由一阶线性微分方程通解公式有60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为61.62.63.64.65.66.67.68.69.y=x2(x≥0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图3—1所示．其面积为70.解如图所示，将积分区域D视作y-型区域，即71.D∵f(a)为极大值∴[f(a)一f(x)]一定大于072.。
