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1、江门一中高三下学期数学2月月考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A，再根据补集的定义求解即可.【详解】由，得或.解得或，即或，故，故选：B.2. 已知i为虚数单位，则关于复数z的说法正确的是（ ）A. B. z在复平面内对应的点在第三象限C. z的虚部为D. 【答案】D【解析】【分析】根据表达式和可得，可知，复数z在复平面内对应的点为，不在第三象限，z的虚部为，即ABC错误，D正确.【详解】由，可得，所以，即A错误；复数z在复平
2、面内对应的点为，在虚轴上，即B错误；由实部和虚部定义可得z的虚部为，即C错误；，故D正确.故选：D3. 若直线与圆相交于P，Q两点，且（其中O为坐标原点），则b的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用余弦定理求得弦长，再利用勾股定理即可求解.【详解】，圆的半径为1，圆心到直线的距离，解得.故选：C4. 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如图所示.则下列结论中正确的是（ ）A. 12个月的PMI值不低于的频率为B. 12个月的PMI值的平均值低于C. 12个月的PMI值
3、的众数为D. 12个月的PMI值的中位数为【答案】B【解析】【分析】根据统计图一一分析即可.【详解】对于A：从图中数据变化看，PMI值不低于的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于的频率为，故A错误；对于B：由图可以看出PMI值不低于的月份有个且超过不多，PMI值低于的月份有个，其中月份数据为低得比较多，所以PMI值的平均值低于，故B正确；对于C：12个月的PMI值的众数为，故C错误；对于D：12个月的PMI值的中位数为，故D错误.故选：B5. 已知函数，若函数图象与直线至少有2个交点，则的最小值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】化简函数，根据函数性质，结
4、合图象求解.【详解】函数，所以函数的最小正周期为，又图象与直线至少有2个交点，即函数在上至少存在两个最大值，如图，所以正整数的最小值为7.故选：A【点睛】此题考查函数零点与方程的根相关问题，关键在于准确化简三角函数，根据函数性质结合图象求解.6. 现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事
5、件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7. 函数在上的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，故排除B，当时，故排除A，只有C满足条件.故选：C8. 若，且，则下列不等式成立的是
6、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造基本不等式，然后利用基本不等式逐项判断即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，即，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，即，两边开平方得：，同理可得，三式相加得，当且仅当时取等号，故D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是（ ）A. 平面B. C. 三棱锥的外接球的体积为D. 三棱锥的外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】根
7、据线面垂直性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证明A正确；即可得三条线两两垂直，由异面直线夹角可得，即B错误；通过构造长方体计算可得三棱锥的外接球半径为，即可得出体积和表面积，可判断C正确，D错误.【详解】根据题意，因为平面，平面，所以，又四边形是矩形，所以，平面，平面，且，所以平面.即A正确；可得平面，ABC两两垂直，所以三棱锥外接球的直径等于，又，所以直线与所成的角等于直线与BC所成的角或其补角，所以，由可得，所以B错误；设三棱锥外接球的半径为，则满足，所以；所以三棱锥的外接球的体积为,表面积为.所以C正确，D错误.故选：AC.10. 若存在m，使得对任意恒成立，则函数在D上有下界，
8、其中m为函数的一个下界；若存在M，使得对任意恒成立，则函数在D上有上界，其中M为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.则下列说法正确的是（ ）A. 1是函数的一个下界B. 函数有下界，无上界C. 函数有上界，无下界D. 函数有下界，无上界【答案】AB【解析】【分析】根据函数上下界的定义，可利用函数的性质以及导数求解值域，即可求解.【详解】A正确，当时，（当且仅当时取等号），恒成立，是的一个下界.B正确，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，有下界.又当越来越大时，趋向，无上界.综上所述，有下界，无上界.C错误，有下界.D错误，.又，既有上界又有下界.故选：AB11.
9、 已知椭圆的左右焦点分别为，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）A. 若直线CA的斜率为，BD的斜率，则B. 存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形C. 取值范围为D. 周长的最大值为【答案】BD【解析】【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大.【详解】将代入椭圆方程，求出，其中，则，A错误；由题意得：，当时，此时，所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶
10、点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；不妨设，则，因为，所以，C错误；如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，等于，其他位置都比小，例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，连接，由椭圆定义可知：，显然，同理可知：，故周长的最大值为，D正确故选：BD12. 已知正m边形，一质点M从点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一经过n次移动，记质点M又回到点的方式数共有种，且其概率为，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则，D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据所给规则，直接判断A，根
11、据规则，分析变化规律，归纳得出结论判断B，根据规则直接判断C，列举所有可能由古典概型求解判断D.【详解】对A，时，如图，经3步从回到，仅有，与两种，所以，故A错误；对B，若时，如图，与，记从出发经过n步到的方法数为，则(先走两步回到有2种，化归为，先走两步到有2种，化归为)，所以，因为，所以，故B正确；对C，时，显然走奇数步无法回到，故，故C正确；对D，时，走6步共有种走法(每一步顺时针或逆时针)，出发回到有2种情形，一个方向连续走6步，有2种；2个方向各走3步，有种，所以，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在二项式的展开式中，常数项是，则a的
12、值为_.【答案】【解析】【分析】写出二项式展开式的通项，令的次幂为0即可求得常数项的表达式，解得即可得出答案.【详解】展开式的通项公式为，令，得，故，解得.故答案为：14. 在张家口市的高二期末考试中，全市学生的数学成绩，已知，则从全市学生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为_【答案】0.9【解析】【分析】由已知可得，求出，得，再由对立事件的概率得答案【详解】，又，则他的数学成绩小于110分的概率为0.9故答案为：0.9【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题15. 如图，在矩形中，为中点，将沿直线翻折成，连接
13、，则当三棱锥的体积最大时，_.【答案】【解析】【分析】根据条件当平面平面时，三棱锥的体积最大，取中点，中点，则有，求出，解即可.【详解】当平面平面时，三棱锥的体积最大，如图，取中点，中点，连接，平面平面，平面，平面，中，在中，所以为正三角形，故.故答案为：.【点睛】本题以图形翻折、体积最值为背景，考查空间线面位置关系，注意空间垂直间的相互转化，考查数形结合思想，属于中档题.16. 已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为_；记分别是方向上的单位向量，且，则（m，n为常数）的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，
14、得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求到平面的距离得解.【详解】在中，所以，所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得，所以与的方向相同或与的方向相同，不妨取与的方向相同，由平面向量基本定理可得必与共面，在平面上取一点，故可设，则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为.故答案为：；四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知中内角，的对边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据两角差的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）或（舍去），所以；（2）由余弦定理可知：，因此的面积为：.18. 设为数列的前n项和，已知，且（1）证明：是等比数列；（2）若成等差数列，记，证明
