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1、2022年人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：，求x的取值范围。 分析：本题为二次
2、不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。 解：（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 （2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长
3、方形的长和宽。例题：1某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、 3、 5、 +4、 8、 +6、 3、6、 4、 +10。（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？解答：（1）0km，就在鼓楼； （2）139.2元。2. 同学们都知道,|5(2)|表示5与2之差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索：(1)求|5(2)|=_。(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整
4、数是_。(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由。(8分)解答：3或1或5或9。 解： 或 又 解得：或 长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一： 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） 是7的倍数 而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。 证明二：是7的倍数，设（m是整数） 则 又 x，m是整数，也是整数 所以，是49的倍数。4、中考点拨 例1.把分解因式的结果
5、是_。 解： 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 因式分解：_ 解： 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示 例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在两种情况： 由（1）可得：，由（1）可得： 故选择C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。 求证： 证明： 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3
6、. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。 解：有一因式 当，即时， 说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 在多项式，哪些是多项式的因式？ 3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。 4. 分解因式： 5. 已知：，求的值。【试题答案】 1. （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2. 解： 其中是多项式的因式。 说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设 则 解得： 且 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设 比较同类项系数，得： 解得： 5. 解： 说明：用因式分解可简化计算。
