《中考数学二轮复习培优专题45几何中的最值问题之四边形的面积 (含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习培优专题45几何中的最值问题之四边形的面积 (含答案)（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、45第8章几何中的最值问题之四边形的面积一、选择题1如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上运动，PQ，有下列结论：CP与QD可能相等；AQD与BCP可能相似；四边形PCDQ面积的最大值为；四边形PCDQ周长的最小值为其中，正确结论的序号（） ABCD【答案】D【分析】根据图象法可判断；当ADQ=CPB时，AQD与BCP相似；设AQ=x，则四边形的面积=SABCSADQSBCP，当x取最大值时可得结论；如图，作点D关于AB的对称点D，作DFPQ，使得DF=PQ，连接CF交AB于点P，此时四边形PCDQ的周长最小，求出CF的长即可判断.【解答】利用图象法可得PCDQ，
2、故错误；A=B=60，当ADQ=CPB时，AQD与BCP相似，故正确；设AQ=x，则S四边形PCDQ= SABCSADQSBCP=，x的最大值为，四边形PCDQ面积的最大值为，故正确；如图，作点D关于AB的对称点D，作DFPQ，使得DF=PQ，连接CF交AB于点P，此时四边形PCDQ的周长最小，过点C作CHDF交DF的延长线于H，交AB于J，由题意可得，DD=2ADsin60=，,，四边形PCDQ的周长最小最值=，故错误.故选D.【点评】本题主要考查相似三角形的判断与性质，锐角三角函数，轴对称最短路径问题等，综合性较强，属于中考常考题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.二、填空题2已知，四边形
3、ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD10，当AC_时，四边形ABCD的面积最大，最大值为_【答案】5 12.5 【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为，则，进而求出，再求出最值即可【解答】解：设，四边形ABCD面积为S，则，则：，S有最大值，当时，四边形ABCD的面积最大，即当时，四边形ABCD面积最大，故答案为：5，12.5【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键3如图，O是等边ABC的外接圆，已知D是O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_【答案】4【分析】连接BO并延长交AC于
4、E，交于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案【解答】连接BO并延长交AC于E，交于D，连接AD、CD，ABC为等边三角形，ABBC，OEAC，点D为的中点，此时点D到AC的距离最大，ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，在RtBAD中，ABD30，ADBD2，由勾股定理得，AB2，以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积2224，故答案为：4【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键4已知AB为半圆的直径，AB2，DAAB，CBAB，AD1，BC3，点P
5、为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_【答案】2+【分析】五边形ABCDP的面积四边形ABCD的面积CPD的面积只要求出CDP面积的最小值，作EF/CD，且与O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时CDP的面积最小【解答】解：五边形ABCDP的面积四边形ABCD的面积CPD的面积，只要求出CDP面积的最小值，作EF/CD，且与O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时CDP的面积最小，易知AD2，四边形ABCD的面积（1+3）2411+ADOH+13，OH，PH11，CAD的面积最小值为2
6、，五边形ABCDP面积的最大值是4（2）2+故答案为2+【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤5如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点抛物线与轴正半轴交于点，点的坐标为，是该抛物线第一象限图像上的一点，三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点的横坐标为若这个正方形的面积最小，则的取值范围是_【答案】【分析】根据抛物线与x轴正半轴交于点A，得点A坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），可得最小正方形的边长为3，最小正方形的面积为9，根据题意可得A、B、C中任意两个点不能重合，故此可以确定点C的横坐标的取值范围【解
7、答】解：抛物线与x轴正半轴交于点A， 点A的坐标为（2，0）， 如图所示： 当A，B，C三点均在某一个正方形的边上， 且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行， 点B的坐标为（0，3）， 正方形的面积最小时， 此时正方形的边长为3， 过点A、B、C的正方形的面积最小值为9， S9 当y=3时， 解得 当2m3，时， 正方形面积有最小值； 当m=-1时， 正方形最小边长也为3， 正方形面积也有最小值， C在第一象限，m0， 综上所述：点C的横坐标m的取值范围是： 2m3 故答案为：2m3【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、正方形的性质，解决本题的关键
8、是综合利用正方形和二次函数的知识6如图，的半径为1，点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为点和点，则四边形面积的最小值是_【答案】【分析】由点P的坐标为（a，a-4），得到OP=，由于PA，PB是O的两条切线，得到PA=PB，OAP=OBP，由于OPAOBP，在RtOAP中，根据勾股定理得到PA的长度，于是得到四边形PBOA面积=2OPA的面积=2OAPA=，即可得到结果【解答】解：点P的坐标为（a，a-4），OP=PA，PB是O的两条切线，PA=PB，OAP=OBP，在OPA与OBP中，OPAOBP，在RtOAP中，PA=，四边形PBOA面积=2OPA的面积=2OAPA=20当a=4时，四
9、边形PBOA面积最小，最小值为故答案为：【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，最值问题，能求得四边形PBOA面积=是解题的关键7如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是A边上一点，且AE，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为_【答案】【分析】根据矩形ABCD中，AB3，BC4，可得AC5，由AE可得点F是边BC上的任意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部过点E作EHAC，交圆E于
10、点G，此时h最小根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角形ACG的面积即可得结论【解答】解：如图，连接AC，在矩形ABCD中，AB3，BC4，BD90，AC5，AB3，AE，点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，S四边形AGCDSACD+SACG34+5h，6+h要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部过点E作EHAC，交圆E于点G，此时h最小在RtABC中，sinBAC，在RtAEH中，AE，sinBAC，解得EHAE，EGBEABAE3，hEHEG（3）3S四边形AGCD6+（
11、3）故答案为：【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点G的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题三、解答题8问题提出（1）如图，在中，为上一点，则面积的最大值是 （2）如图，已知矩形的周长为，求矩形面积的最大值实际应用（3）如图，现有一块四边形的木板余料，经测量且木匠师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形求该矩形的面积【答案】（1）12；（2）9；（3）【分析】（1）过点A作AEBC，则有，要使ABC的面积最大，则需满足AD=AE即可；（2）设AB=x，则有BC=6-x，然后根据题意可得函数关系式，然后根据二次函数的性质进行求解即可；（3）根据题意作图，则由题
12、意易得BMQCNP，则有BM=CN，MN=PQ，设BM=x，则MN=PQ=80-2x，进而可得，然后根据矩形的面积及二次函数的性质可求解【解答】解：（1）过点A作AEBC，如图所示：，D为BC上一点，要使ABC的面积最大，则需满足AD=AE，BC=6，AD=4，ABC的面积最大为：；故答案为12；（2）四边形ABCD是矩形，AB=DC，AD=BC，矩形ABCD的周长是12，设AB=x，则有AD=6-x，矩形ABCD的面积为S，则有：，此函数为二次函数，由，二次函数的开口向下，当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：；（3）如图所示：四边形PQMN是矩形，QM=PN，PQ=MN，QMN=PNM
13、=90，B=C=60，QMB=PNC=90，BMQCNP，BM=NC，设BM=NC=x，则有MN=PQ=80-2x，此函数关系为二次函数，由可得开口向下，当x=20时，矩形PQMN的面积有最大，即【点评】本题主要考查二次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键9如图三角形ABC，BC12，AD是BC边上的高AD10P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN1：2求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长【答案】（1）PQ，PN；（2）PQ5，PN6【分析】（1）设PQy，则PN2y，根据相似三角形的对应边上的高的比相似比，构建方程即可解决问题；（2）设AEx利用相似三角形的性质，用x表示PN，PQ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可【解答】解：（1）设PQy，则PN2y，四边形PQMN是矩形，PNBC，APNABC，ADBC，ADPN，即，解得y，PQ，PN（2）设AEx四边形PQMN是矩形，PNBC，
