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1、第5讲 圆（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：圆的基本认识角度1：圆的基本概念辨析角度2：圆中弦的条数角度3：求过圆内一点最长弦问题角度4：求一点到圆上一点距离最值角度5：圆的周长和面积问题题型二：垂径定理角度1：利用垂径定理求值角度2：利用垂径定理求平行弦问题角度3：利用垂径定理求同心圆问题题型三：垂径定理的推论题型四：垂径定理的实际应用题型五：弧、弦、圆心角的关系角度1：利用弧、弦、圆心角的关系求解角度2：利用弧、弦、圆心角的关系求证题型六：圆心角题型七：圆周角题型八：点与圆的位置关系题型九：三角形的外接圆题型十：确定圆的条件题型十一
2、：直线与圆的位置关系角度1：判断直线与圆的位置关系角度2：已知直线与圆的位置关系求参数角度3：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离角度4：求直线平移到圆相切时运动的距离题型十二：切线的判定与性质定理题型十三：切线长定理题型十四：三角形的内切圆题型十五：圆内接四边形题型十六：圆与圆的位置关系题型十七：圆的综合问题题型十八：正多边形与圆题型十九：弧长和扇形面积角度1：弧长公式角度2：扇形面积题型二十：圆锥侧面积角度1：圆锥侧面积角度2：圆锥侧面上最短路径问题第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：圆的定义1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
3、成的图形叫做圆以点为圆心的圆，记作“”，读作“圆”.2.圆的集合定义：圆心为、半径为的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合3.圆心与半径：固定的端点叫做圆心，线段叫做半径，一般用表示 知识点二：圆的相关概念1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2.直径：过圆心的弦叫做直径。直径是圆内最长的弦注意：（1）弦和直径都是线段。（2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。3.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆4.同心圆：圆心相同，半径不同。5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆。6. 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间
4、的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以，为端点的弧记作“”，读作“圆弧”或“弧” 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧仅仅存在于同圆或者等圆中。8.弦心距：圆心到弦的距离9.圆心角：顶点在圆心的角10.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角知识点三：圆的性质1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2.圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。知识点四：圆周角定理圆周角定理定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角，是所对
5、的圆周角，推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等和都是所对的圆周角推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径是的直径是所对的圆周角是所对的圆周角 是的直径知识点五：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧知识点六：点与圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定（）点在圆外 点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的圆周上.点在圆内 点在圆的内部点在内部.知识点七：直线与圆的位置关系（
6、1）直线和圆的三种位置关系：相离：一条直线和圆没有公共点相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线（2）判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为直线和相交直线和相切直线和相离知识点八：切线的性质与判定（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（3）常见的辅助线的：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这
7、条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”（4）切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分知识点九：与圆有关的其它定理（1）弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。即：是切线，是弦（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在中，是切线，是割线 （3）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等即：在中，、是割线 知识点十：三角形外接圆与内切圆1三角形的外接
8、圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个2三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心
9、就是三角形三个内角角平分线的交点（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角知识点十一：圆内接正多边形1、定义： 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。2、圆内接正多边形的相关概念（1） 正多边形的中点：一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，如上图点。（2） 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径，如图中的,。（3） 正多边形的中心角：正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，如图中的。（4） 正多边形
10、的边心距：正多边形的中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距，如图中的。3、与正多边形有关的计算公式（为正多边形的边数，）：（1）边形的每个内角为（2）正边形的每个中心角为（3）正边形的每个外角为（4）正边形的半径、边心距、边长之间的关系为（5）若正边形的边长为，边心距为，则正边形的周长，面积知识点十二：与圆有关的基本公式1、圆的周长公式：2、弧长公式:的圆心角所对的弧长的计算公式为3、扇形面积公式：其中是扇形的圆心角度数，是扇形的半径，是扇形的弧长.4、圆的面积公式：知识点十三：圆柱与圆锥的侧面积1、圆柱的侧面积：（其中是圆柱的高）2、圆锥的侧面积：（其中是圆锥的母线长，是圆锥的地面
11、半径.）第二部分：课前自我评估测试1（2023秋广东广州九年级广州白云广雅实验学校校考期末）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，若，则的度数是（）ABCD2（2023秋河南信阳九年级统考期末）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（）A相切B相交C相离D平行3（2023秋山东临沂九年级校考期末）有下列四种说法：半径确定了，圆就确定了；直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆其中，错误的说法有（）A1种B2种C3种D4种4（2022秋湖北武汉九年级统考阶段）已知的直径等于8，圆心O到点P的距离为5，那么点P与的位置关系是（）A点P在上B点P在外C点
12、P在内D无法确定5（2022秋全国九年级专题）如图，是圆周角的是（）ABCD6（2023秋河南新乡九年级新乡市第十中学校考期末）的半径为圆心到直线l的距离为则直线与的位置关系是_7（2023春上海九年级专题）如图，是的弦的中点，垂足为，求证：第三部分：典型例题剖析题型一：圆的基本认识角度1：圆的基本概念辨析典型例题例题1（2023河北九年级专题）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（）A无数个B3个C2个D1个例题2（2023秋辽宁沈阳九年级沈阳市第七中学校考期末）下列语句中不正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等圆是中心对称图形圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴长度相等的两条弧是等弧
13、A1个B2个C3个D4个例题3（2022秋黑龙江哈尔滨六年级哈尔滨德强学校校考阶段）画圆时，圆规两脚张开的距离是，则这个圆的直径是（）ABCD角度2：圆中弦的条数典型例题例题1（2022秋全国九年级专题）如图所示，在中，点，以及点，分别在一条直线上，则图中的弦有()A2条B3条C4条D5条例题2（2022春九年级课时）如图，在中，点,和点,分别在同一条直线上，则图中有（）条弦.A2B3C4D5例题3（2022秋九年级课时）如图，在中，点、和点、分别在一条直线上，图中共有_条弦，它们分别是_角度3：求过圆内一点最长弦问题典型例题例题1（2022春九年级课时）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（）ABCD例题2（2022秋天津和平九年级校考期中）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（）A8B10C12D14例题3（2022秋全国九年级专题）如图，圆的弦中最长的是（）ABCD角度4：求一点到圆上一点距离最值典型例题例题1（2022秋江苏无锡九年级校考阶段）如图，在中，点是边上的动点，连接，过点作于点，则的最小值为（）A2B3C4D5例题2（2022秋山东德州九年级统考期中）如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为_
