《专题19相似基本模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题19相似基本模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳汇总（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题19相似基本模型解题策略经典例题【例1】（2021山东嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）RtABC中，C=90，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似?【答案】（1）3秒
2、或5秒；（2）S=20t4t2cm2；（3）t=3或t=4011【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；（3）分RtCPQRtCAB和RtCPQRtCBA，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，在RtCPQ中，CP2
3、+CQ2=PQ2，即204t2+2t2=102；t=3秒或t=5秒（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=204t，因此RtCPQ的面积为S=12204t2t=20t4t2cm2；（3）分两种情况：当RtCPQRtCAB时，CPCA=CQCB，即204t20=2t15，解得t=3；当RtCPQRtCBA时，CPCB=CQCA，即204t15=2t20，解得t=4011因此t=3或t=4011时，以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键【例2】（2022江苏无锡市天一实验学校一模）如图，在等边ABC边长为6，O
4、是中心；在RtADE中，ADE=90，DAE=60，AD=2将ADE绕点A按顺时针方向旋转一周(1)当AD、AE分别在AC、AB边上，连结OD、OE，求ODE的面积；(2)设DE所在直线与ABC的边AB或AC交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求AF的长；(3)连结CE，取CE中点M，连结DM，DM的取值范围为_【答案】(1)23(2)12-46(3)1DM5【分析】（1）由O是等边三角形的中心，可知OM=12OB=12OA，进而得到AEBE=AOOM，从而EOBM，所以可得OD=12EN，SODE=SODN=12SDEN即可求解；（2）易证AEFOBF，得到AEOB=AFOF=EFBF，
5、设AF=x，OF=y，求解即可；（3）取AE的中点N，连接MN，DN，由D、N在A上，可知即MN-DN DMDN+MN，易知MN是AEC的中位线，从而求得（1）连接AO，并延长交BC于M，连接OBO是等边ABC的中心OBM=30，BM=MC，AMBCOM=12OB=12OA=3 AEBE=AOOM=2 EOBM延长EO交AC于N，则AEN为等边三角形EOBMAEBE=ANNC=42,OEBM=AOAM=ONMCON=OE，CN=DN=AD=2OD=12EN=2SODE=SODN=12SDEN=1223=23（2）连接OB，OA，如图，O是等边ABC的中心OBA=30，OA=OB=23 OD=O
6、A2-AD2=(23)2-22=22 DAE=30AE=4，DE=23 在AEF和OBF中ABO=AED=30，AFE=BFOAEFOBF(AA)AEOB=AFOF=EFBF 设AF=x，OF=y，则423=xy=23+22-y6-x解得x=12-46，y=6-62,所以AF=12-46（3）取AE的中点N，连接MN，DN，D,N在A的圆上当D、M、N三点共线时，DM最大或最小，即MN-DN DMDN+MN，MN-2DMMN+2当D、M、N三点共线如图1时，AND为等边三角形，NDA=DAC=60，MNACM，N为中点MN=12AC=3 DM1当D、M、N三点共线如图2时，AND为等边三角形，
7、NDA=BAC=CAE=60，MNACM，N为中点MN=12AC=3 DM5故答案为：1DM5【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关键【例3】（2022全国八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足1=2，则称点P为这个三角形的“理想点”(1)如图，若点D是ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图，在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4，若点D是ABC的“理想点”，
8、求CD的长【答案】(1)D为ABC的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】（1）由已知可得ACAD=ABAC，从而ACDABC，ACD=B，可证点D是ABC的“理想点”；（2）由D是ABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，BDCABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上（1）解：点D是ABC的“理想点”，理由如下：D是AB中点，AB=4，AD=BD=2，ADAB=8，AC=22，AC2=8，AC2=ADAB， ACAD=ABAC，A=A，ACDABC，ACD=B，点D是ABC的“理想点”；（2）D在AB上时，如
9、图：D是ABC的“理想点”，ACD=B或BCD=A，当ACD=B时，ACD+BCD=90，BCD+B=90，CDB=90，即CD是AB边上的高，当BCD=A时，同理可证CDB=90，即CD是AB边上的高，在RtABC中，ACB=90，AB=5，AC=4，BC=AB2AC2=3，SABC=12ABCD=12ACBC，CD=125，AC=4，BC=3，ACBC有BA， “理想点” D不可能在BC边上，D在AC边上时，如图：D是ABC的“理想点”，DBC=A，又C=C，BDCABC， CDBC=BCAC，即CD3=34，CD=94，综上所述，点D是ABC的“理想点”， CD的长为125或94【点睛】
10、本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义【例4】（2022全国九年级专题练习）如图1，在RtABC中，C90，A30，BC1，点D，E分别为AC，BC的中点CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0360），记直线AD与直线BE的交点为点P(1)如图1，当0时，AD与BE的数量关系为_，AD与BE的位置关系为_；(2)当0360时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；(3)CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值【答案】(1)AD3BE，ADBE(2)结论仍然成立，证明见解
11、析(3)P点运动轨迹的长度是43；P点到直线BC距离的最大值是32【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；（2）先证明BCEACD ，可得ADBE=ACBC3，CBOCAD即可解答；（3）利用锐角三角函数可求EBC=30，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可（1）解：在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，AC=3BC=3，AB=2BC=2，ADBE点D，E分别为AC，BC的中点AD=CD=12AC=32，BE=EC=12BC=12 AD3BE故答案为：AD3BE，ADBE（2）解：结论仍然成立，理由如下：AC3，BC1，CD32，
12、EC12，BCAC=33，ECCD33，BCAC=ECDC，CDE绕点C顺时针旋转，BCEACD，BCEACD，ADBE=ACBC3，CBOCAD，AD3BE， CBO+BOC90，CAD+AOP90，APO90，BEAD（3）解：APB90，点P在以AB为直径的圆上，如图3，取AB的中点G，作G，以点C为圆心，CE为半径作C，当BE是C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PHBC，交BC的延长线于H，连接GP，BE是C切线，CEBE，ECBC12，EBC30，GBP30，GBGP，GBPGPB30，BGP120，点P的运动轨迹为点C点P点C点B点C，P点运动轨迹的长度1201180243，
13、ABP30，BPAP，AP12AB1，BP3AP3，CBP30，PHBH，PH12BP32P点到直线BC距离的最大值32【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键培优训练一、解答题1（2021辽宁丹东九年级期中）如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的29；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值【答案】（1）t1=4，t2=2；（2）t3或245【分析】（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值【详解】解：（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，AMN的面积12ANAM12
