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1、第2讲 整式及因式分解（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：代数式、代数式的值题型二：整式的有关概念题型三：整式的运算（加减）题型四：整式的运算（乘除）题型五：乘法公式角度1：平方差公式角度2：完全平方公式角度3：整式的混合运算题型六：提公因式法与公式法题型七：十字相乘法题型八：分组分解法题型九：因式分解的应用第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：代数式、代数式的值（1）代数式的概念用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或者一个字母也是代数式（2）代数式的值用具体数代
2、替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,代数;第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.知识点二：整式的有关概念1整式：单项式与多项式统称为整式2单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数3多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数多项式中单项式的个数，就是这个多项式的项数4同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
3、叫做同类项几个常数项也是同类项5合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变知识点三：整式的运算（1）整式的加减运算：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.（2）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.知识点四：幂的运算（1）（都是正整数）（2）（，都是
4、正整数）（3）（都是正整数）（4）（是正整数）（5）（）（6）（，是正整数）知识点五：整式的乘除运算（1）单项式单项式：将单项式系数相乘作为积的系数；相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式；单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.注：单项式乘单项式，积为单项式.（2）单项式多项式：单项式分别乘多项式的每一项将所得的积相加；一般地，单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）多项式多项式：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（4）单项式单项式：将单项式系数相除作为商的系数；相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；
5、只在被除式里含有的字母连同指数不变.（5）多项式单项式用多项式的每一项除以单项式商相加知识点六：乘法公式(1)平方差公式：（注意公式逆应用）.(2)完全平方公式：（注意公式逆应用）.知识点七：因式分解1定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解2方法（1）提公因式法：（2）公式法：；3分解因式的基本步骤（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；（2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止简记为一“提”、二“套”、三“检查知识点八：十字相乘法1、如果二次三项式 中的常数项能分解成两个因数、的积，而且一次项系数又恰好是与的和，那么就可以进行如下的因式分
6、解，即=2、利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，一般地，=可以用十字交叉线表示3、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。方法的特征是：“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同4、二次项系数不为1的二次三项式对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是：“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二
7、次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母条件：（1） （2） （3） 分解结果：=知识点九：分组分解法1. 分组分解定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。2. 利用分组分解法分解因式的多项式特征： （1）多项式的项数一般大于三项； （2）分组后各组可利用提取公因式法或公式法或十字相乘
8、法进行分解； （3）各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解。分组分解法以四项为主，四项的分解可以组合成“一项+三项”其中的三项可以考虑完全平方公式，或“两项+两项”其中的两项通常要考虑提取公因式或平方差公式。第二部分：课前自我评估测试1（2022全国七年级专题练习）单项式与的和是，则（）A4B3C4D5【答案】D【详解】解：解：单项式与的和是，单项式与是同类项，解得，故选：D2（2022湖南怀化市第四中学七年级期中）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（）ABCD【答案】C【详解】A、，不能用平方差分解因式，不符合题意；B、，不能用平方差分解因式，不符合题意；C、，能用平方差分解因式，符合
9、题意；D、，不能用平方差分解因式，不符合题意；故选C3（2022广东深圳市明珠学校八年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）ABCD【答案】B【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、，属于因式分解，已把一个多项式化为两个整式的积的形式，故此选项符合题意；C、，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；D、，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意故选：B4（2022湖北华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级阶段练习）计算：（1）_；（2）_；（3）_
10、【答案】 【详解】解：，故答案为：，5（2022湖南株洲景炎学校七年级期中）多项式中各项的公因式是_【答案】【详解】解：各项的公因式是故答案为：第三部分：典型例题剖析题型一：代数式、代数式的值典型例题例题1（2022陕西省西安爱知中学七年级期中）将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（）ABCD【答案】D【详解】解：第一个图形中“大正方形”的边长为，因此面积为，第二个图形中阴影部分的面积为，所以有，故选：D例题2（2022江苏泰兴市济川初级中学七年级期中）已知：，则代数式的值为_【答案】5【详解】解
11、：，故答案为：5例题3（2022河南漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则_【答案】【详解】解：是关于的方程的一个根，即，故答案为：例题4（2022安徽阜南县文勤学校七年级阶段练习）某种植大户王大伯种植花生亩，玉米种植面积比花生种植面积的5倍还多4亩，而高粱种植面积比玉米种植面积的2倍少2亩(1)求王大伯种植花生、玉米和高粱共多少亩以及种植高粱的面积比玉米多多少亩？(2)王大伯经过测量得到种植花生亩，那么种植花生、玉米和高粱一共多少亩以及种植高粱的面积比玉米多多少亩？【答案】(1)亩，多亩(2)202亩，多62亩【详解】（1）易知种植玉米的面积为亩，种植高粱的面积
12、为亩，所以总面积为亩，种植高粱的面积比玉米多亩（2）当时，种植总面积为，种植高粱的面积比玉米多答：种植花生、玉米和高粱一共202亩，种植高粱的面积比玉米多62亩例题5（2022山东滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）某学校准备组织部分教师到杭州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为400元/人，同时两旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余游客八折优惠(1)如果设参加旅游的老师共有人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示）(2)假如某校组织17名教师到杭州旅游，该校选择哪一家旅行社比较优
13、惠？请说明理由【答案】(1)；(2)甲旅行社比较优惠，理由见解析.【详解】（1）解：甲旅行社：，乙旅行社：故答案为：；（2）当时，（元）， （元）， ， 所以，甲旅行社比较优惠同类题型归类练1（2022安徽定远县第一初级中学八年级阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值等于 _【答案】2022【详解】解：点在函数的图象上，故答案为：20222（2022湖北华中科技大学附属中学九年级阶段练习）已知a是一元二次方程的根，则的值为_【答案】2018【详解】a是一元二次方程的根，即，故答案为：20183（2022辽宁金州区育才高级中学九年级阶段练习）抛物线经过点，则代数式的值为_【答案】11【详解】解：抛物线经过点，故答案为：4（2022福建泉州七年级期中）当，时，求下列代数式的值(1)(2)【答案】(1)16(2)36【详解】（1）解：，；（2）解：，5（2022上海市罗南中学七年级阶段练习）某市出租车收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x5）(1)请用含x的代数式表示出他应该支付的车费；(2)若该乘客乘坐了20千米，那他应该支付多少钱？(3)如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程吗？【答案】(1)(2)他应该支付44元(3)他乘坐的里程是15千米（1）支付车费：（元）；（2）当时，
