2023一模汇编【解析几何】一、填空题1.【嘉定3】直线与直线的夹角大小为 .【答案】2.【闵行3】双曲线的离心率为 .【答案】 【提示】3.【静安3】若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 .【答案】【提示】，即4.【金山4】已知抛物线的焦点坐标为，则的值为 .【答案】 【提示】抛物线的焦点坐标为，所以，则5.【奉贤5】己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于 .【答案】【提示】，所以，故所以，故6.【崇明6】已知方程组无解，则实数的值等于 .【答案】【提示】直线与直线平行7.【普陀7】双曲线的两条渐近线的夹角大小为 .【答案】 【解析】（仅适用特殊角）【巧解】（此方法也适合一般角）8.【浦东8】已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为 .【答案】12【解析】，故点到轴的距离为12.9.【杨浦8】若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 . 【答案】或【提示】或，①若，令，则；②若，令，则；综上，双曲线的离心率为或．10.【普陀9】设R. 若直线：与曲线：仅有一个公共点，则 .【答案】【解析】圆心，直线：与圆仅有一个公共点 与圆相切.11.【闵行10】已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 .【答案】【解析】令，，，则、，由，得，又因为，所以，，当时，上式取得最大值.12.【松江10】已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】【解析】因为是的角平分线，，所以是等腰三角形，，为的中点，又为的中点，所以是的中位线，如图，由双曲线定义，得，，所以双曲线的渐近线方程为.13.【宝山10】双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上. 双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为 .【答案】【答案】如图，交轴于，根据双曲线的对称性，知与轴平行，且.设，则，，所以.双曲线渐近线方程为，，由已知直线斜率为，则直线的方程为，.因为，所以有，即，整理可得，，所以.14.【徐汇11】设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 .【答案】 【解析】根据题意，令，解得或，不妨设，如图直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；且为方程，即的两根，，故；又为方程，即的两根，故；则在上严格减，故.15.【金山11】若集合，，且，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为，所以集合是被两条平行直线夹在其中的区域，如图所示，，其中，由，解得或，当时，B表示点或；当时，表示以为圆心，为半径的圆及其内部的点，其圆心在直线上，，圆应与阴影部分相切或者相交，①当时，点在直线的上方，舍去；②当时，点在直线上，满足题意；③当时，；④当时，，无解；综上，实数的取值范围足.16..【黄浦12】已知曲线：与曲线：，长度为1的线段的两端点分别在曲线上沿顺时针方向运动，若点从点开始运动，点到达点时停止运动，则线段所扫过的区域的面积为 .【答案】【解析】如图所示：线段所扫过的区域的面积为17.【长宁12】已知、为椭圆（）的左右焦点，为的上顶点，直线经过点且与交于、两点. 若垂直平分线段，则的周长是 .【答案】【解析】如图，连接，因为l垂直平分线段，所以所以的周长为由题意得，则的中点为，所以的周长为.18.【虹口12】已知是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A， B 两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为 .（注意：不填或错填得分，漏填得分.）① 双曲线的离心率为2； ② 双曲线的一条渐近线的斜率为；③ 线段A B的长为6a； ④ △的面积为.【答案】①④ 【解析】，③ 错误；，①正确； ②错误；，，④ 正确； 所以选①④19.【徐汇12】已知正实数满足，则的最小值为 .【答案】 【解析】设直线，点在直线上，且在第一象限，设点，则，如图所示，设点A关于直线对称的点设为，则法一：由对称点公式，得，法二：，解得，（共同）所以，当且仅当共线时等号成立，即的最小值为.20.【崇明12】已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于 .【答案】【解析】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，由题知法一：设，，则，由①②得，代入③整理得，，两边同时除以得，即，即法二：【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.二、选择题21.【金山13】已知直线，直线，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】C22.【黄浦13】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C23.【虹口13】设，已知直线l: y = m x+1与圆C: ，则 “m > 0” 是“直线l与圆C相交 ” 的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A 【提示】直线l与圆C相交，小推大，大不能推小24.【徐汇14】已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）A．0 B．4 C．8 D．12【答案】C 【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可.【提示】，即，仅有C满足，故选C.25.【嘉定14】已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）①开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同.A. 只有一个正确 B. 只有两个正确 C. 均正确 D. 均不正确【答案】D 【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.【解析】，比较大小知：可知：三个结论均为错误，故选D26.【虹口15】已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】，则：，，则，所以选B27.【崇明16】已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ）A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题【答案】A 【解析】因为，当且仅当时，等号成立所以，因此曲线C所围成的区域的在圆上或者内部，即故曲线C上的点到原点的最大距离是2，因此命题q为真命题曲线C：图像关于轴、轴、原点对称当时，圆上及内部横坐标与纵坐标都是整数的点，其中点显然在曲线C上，但其它点均不在曲线上，故曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p为真命题. 综上，选A.28.【宝山16】已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（ ）A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④【答案】B【答案】将点代入抛物线方程，可得抛物线C的准线为，故①错误；抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，故②正确；由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ方程为，交点，联立方程，整理可得，，且，，故③正确；而，所以，故④错误. 综上，选B.29.【浦东16】已知平面直角坐标系中的直线、. 设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中. 则、公共点的个数不可能为（ ） A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 12个【答案】D【解析】设曲线上任意点满足：①当②当③当④当所以曲线为矩形，顶点分别为、、、；设曲线上任一点满足：所以曲线是焦点在轴上的椭圆；如图所示，、公共点的个数可能为0，4，8，不可能有12个交点，故选D.30.【青浦16】在直角坐标平面中，已知两定点与，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C 【解析】当不垂直于轴时，设直线则①当，即时，则，即所围成的图形是以为对角线的正方形及其外部；②当，即时，则，即上的点到直线的距离为，即平行于直线的两条平行线间的距离为，是圆的两条平行切线，当两条平行切线从逆时针旋转到垂直于轴，从顺时针旋转到垂直于轴时，将正方形内、圆外的左右两处全扫到，说明这两处的点在直线上，所以平面上不在任何一条直线上的点组成的图形是圆的内部及正方形内圆外的上下两部分，故面积为，故选D.【错解】设直线的方程为，两定点与，由于，到直线的距离之差的绝对值等于，则.①当时，即时，，平方整理得，所以，如图：正方形上及外部的点均在直线上；②当时，即时，有，记为直线上一点，所以，则，则在圆外部的点，包括圆亦在直线上； 综上，平面上不在任何一条直线上的点组成的图形为圆内部的所有点，故面积为. 选C.三、解答题31.【奉贤20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标；（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），所以椭圆标准方程为 4分（2），设则或（舍）或，得 5分（3）设直线的方程为，则 1分设直线的方程为，则 1分 2分 2分 1分设，则在上严格减 1分 1分32.【黄浦20】（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. 动直线、都过。
