2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷 试题数：22，总分：150 1.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A.（3，-6，2） B.（-3，-6，-2） C.（3，6，-2） D.（3，-6，-2） 2.（单选题，5分）若椭圆 x2p+y24=1 的一个焦点为（0，-1），则p的值为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 3.（单选题，5分）双曲线 x2m2+12−y24−m2=1 的焦距是（　　） A.4 B. 22 C.8 D.与m有关 4.（单选题，5分）在数列{an}中，a1=- 14 ， an=1−1an−1 （n＞1），则a2020的值为（　　） A. −14 B.5 C. 45 D.以上都不对 5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 3 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（　　） A.78石 B.76石 C.75石 D.74石 7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（　　） A.x-2y-4=0 B.2x+y-4=0 C.4x+2y+1=0 D.2x-4y+1=0 8.（单选题，5分）已知椭圆 x2a2+y2b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34 ，则椭圆的离心率e=（　　） A. 12 B. 22 C. 14 D. 24 9.（多选题，5分）已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7=S11，则（　　） A.a10＞0 B.当n=9时，Sn最大 C.S17＞0 D.S19＞0 10.（多选题，5分）已知双曲线C过点 3，2 且渐近线方程为 y=±33x ，则下列结论正确的是（　　） A.C的方程为 x23−y2=1 B.C的离心率为 3 C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线 x−3y−1=0 与C有两个公共点 11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（　　） A.存在a，使得l的倾斜角为90° B.存在a，使得l的倾斜角为135° C.存在a，使直线l与圆C相离 D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短 12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（　　） A.直线AD与直线C1M始终是异面直线 B.存在点M，使得B1M⊥AE C.四面体EMAC的体积为定值 D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC 13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ． 14.（填空题，5分）若an=（-1）n•（2n-1），则数列{an}的前21项和S21=___ ． 15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ． 16.（填空题，5分）数列{an}中，a1=1，an+an+1=（ 14 ）n，Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn-4nan=___ ． 17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{bn}的前三项． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{an+bn}的前n项和Tn． 18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点． （1）求证：C1M || 平面DB1E； （2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值． 19.（问答题，12分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l：y=k（x-1）与抛物线C相交于不同的两点A，B． （1）求抛物线C的方程； （2）若|AB|=8，求k的值． 20.（问答题，12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，an+1+2an-1+3Sn-1=3Sn． （1）证明：数列{an+1-an}是等比数列； （2）设 bn=an+1an+1an ，求数列{bn}的前n项和Tn． 21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1． （1）求证：AB⊥PC； （2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为 33 ，求三棱锥M-ACP体积． 22.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． （1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （2）若l过点（ m3 ，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 试题数：22，总分：150 1.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A.（3，-6，2） B.（-3，-6，-2） C.（3，6，-2） D.（3，-6，-2） 【正确答案】：C 【解析】：直接利用点的对称的应用求出结果． 【解答】：解：点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为N（3，6，-2）； 故选：C． 【点评】：本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 2.（单选题，5分）若椭圆 x2p+y24=1 的一个焦点为（0，-1），则p的值为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【正确答案】：C 【解析】：由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值． 【解答】：解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上， 则a2=4，b2=p，c2=1， 从而4=p+1，p=3． 故选：C． 【点评】：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 3.（单选题，5分）双曲线 x2m2+12−y24−m2=1 的焦距是（　　） A.4 B. 22 C.8 D.与m有关 【正确答案】：C 【解析】：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c 【解答】：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4-m2=16 ∴c=4 焦距2c=8 故选：C． 【点评】：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题 4.（单选题，5分）在数列{an}中，a1=- 14 ， an=1−1an−1 （n＞1），则a2020的值为（　　） A. −14 B.5 C. 45 D.以上都不对 【正确答案】：A 【解析】：求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可． 【解答】：解：数列{an}中，a1=- 14 ， an=1−1an−1 （n＞1）， a2=1+4=5，a3=1- 15 = 45 ，a4=1- 54 =- 14 ，•••， 所以数列的周期为3， a2020=a673×3+1=a1= −14 ． 故选：A． 【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题． 5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 3 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【正确答案】：A 【解析】：求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离． 【解答】：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1 ∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 3 ，则P（3， ±23 ）， ∴P到抛物线的准线的距离为：4， ∴点P到抛物线的焦点F的距离为4． 故选：A． 【点评】：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题． 6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（　　） A.78石 B.76石 C.75石 D.74石 【正确答案】：A 【解析】：由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差 d=a3−a13−1 = −362 =-18，再由 S3=3a1+3×22×−18 =180，能求出甲应该分得78石． 【解答】：解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列， 只知道甲比丙多分三十六石， ∴ d=a3−a13−1 = −362 =-18， S3=3a1+3×22×−18 =180， 解得a1=78（石）． ∴甲应该分得78石． 故选：A． 【点评】：本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（　　） A.x-2y-4=0 B.2x+y-4=0 C.4x+2y+1=0 D.2x-4y+1=0 【正确答案】：D 【解析】：由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△ABC的欧拉线就是线段AB的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解． 【解答】：解：因为AC=BC，所以点C在线段AB的中垂线上， 设该中垂线为直线l， 取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心， 过点A作AE⊥BC于E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心， 因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上， 故△ABC的欧拉线就是直线l， 由A（2，0），B（1，