2021-2022学年广东省广州大学附中等三校高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年广东省广州大学附中等三校高二（上）期末数学试卷 试题数：22，总分：150 1.（单选题，5分）已知集合A={x∈N| 12 ＜2x+1＜16}，B={x|x2-4x+m=0}，若1∈A∩B，则A∪B=（　　） A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3} 2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+2i）=|4-3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（　　） A.-2 B.-2i C.1 D.i 3.（单选题，5分）等比数列{an}中，a1+a2=1，a4+a5=-8，则 a7+a8a5+a6 =（　　） A.2 B.-4 C.4 D.-8 4.（单选题，5分）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（　　） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.（单选题，5分）饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（　　） A. 116 B. 18 C. 14 D. 12 6.（单选题，5分）已知 cosα−π3=13 ，则 cos2α+π3 =（　　） A. −89 B. −79 C. 89 D. 79 7.（单选题，5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若 CB=4BF ，则 AFBF =（　　） A.3 B. 52 C. 53 D.2 8.（单选题，5分）设数列{an}的前n项和为Sn，当n∈N*时，an，n+ 12 ，an+1成等差数列，若Sn=2020，且a2＜3，则n的最大值为（　　） A.63 B.64 C.65 D.66 9.（多选题，5分）下列命题错误的是（　　） A.命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x” B.函数“f（x）=cosax-sinax的最小正周期为π”是“a=2”的必要不充分条件 C.x2+2x≥ax在x∈[1，2]时有解⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]时成立 D.“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a•b＜0 ” 10.（多选题，5分）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　） A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为 98 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 11.（多选题，5分）已知函数 fx=cosπ4x−2−sinπ4x+2 ，则（　　） A.函数f（x）的图象关于y轴对称 B.x∈[2，4]时，函数f（x）的值域为 1，2 C.函数f（x）的图象关于点（4，0）中心对称 D.8为函数f（x）的周期 12.（多选题，5分）已知函数f（x）=ln（e2x+1）-x，则下列说法正确的有（　　） A. fln2=ln52 B.f（x）是奇函数 C.f（x）在（0，+∞）上单调递增 D.f（x）的最小值为ln2 13.（填空题，5分）曲线y=sinx+2cosx-1在点 π2，0 处的切线方程为___ ． 14.（填空题，5分）已知直线l：mx+y-3=0与圆（x-1）2+（y-2）2=4交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB=4，则CD=___ ． 15.（填空题，5分）已知函数f（x）= 3−ax+a−1，x＜1logax2−ax+114，x≥1 ，若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是 ___ ． 16.（填空题，5分）已知点P为双曲线C： x2a2 −y2b2 =1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，点D为线段PF1上一点，∠F1PF2的角平分线与线段F2D交于点M，且满足 PM = 47 PD +37PF2 ，则 DMMF2 =___ ；若D为线段PF1的中点且∠F1PF2=60°，则双曲线C的离心率为 ___ ． 17.（问答题，10分）在 ① 2a- 2 c=2bcosC； ② a2+c2-b2=4S，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知_____． （1）求tanB的值； （2）若S=10，a=5，求b的值． 18.（问答题，12分）已知数列{an}满足an+1-2an=0，a3=8． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn=nan ，数列{bn}的前n项和为Tn．若2Tn＞m-2021对n∈N*恒成立，求正整数m的最大值． 19.（问答题，12分）2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动． （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？ （3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下： 前10天剩菜剩饭的重量为：24.1，25.2，24.5，23.6，23.4，24.2，23.8，21.5，23.5，21.2 后10天剩菜剩饭的重量为：23.2，21.5，20.8，21.3，20.4，19.4，20.2，19.3，20.6，18.3 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）． 20.（问答题，12分）如图甲是由正方形ABCD，等边△ABE和等边△BCF组成的一个平面图形，其中AB=6，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P-ABC，如图乙． （1）求证：平面PAC⊥平面ABC； （2）过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为1：2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值． 21.（问答题，12分）已知椭圆C： x2a2+y2b2=1a＞b＞0 的长轴长为6，离心率为 23 ，长轴的左，右顶点分别为A，B． （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点D（0，-3）的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交y轴于点S、T，记 DS=λDO ， DT=μDO （O为坐标原点），当直线l的倾斜角θ为锐角时，求λ+μ的取值范围． 22.（问答题，12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）． （1）若x1，x2是函数f（x）的两个零点（x1＜x2），且f（x）最小值为-a． ① 求证：x2-x1=2； ② 当且仅当a在什么范围内时，函数g（x）=f（x）+2x在区间（x1，x2）上存在最小值？ （2）若任意实数t，在闭区间[t-2，t+2]上总存在两实数m，n，使得|f（m）-f（n）|≥2021成立，求实数a的取值范围． 2021-2022学年广东省广州大学附中等三校高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 试题数：22，总分：150 1.（单选题，5分）已知集合A={x∈N| 12 ＜2x+1＜16}，B={x|x2-4x+m=0}，若1∈A∩B，则A∪B=（　　） A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3} 【正确答案】：D 【解析】：先化简集合A，再求出m的值，根据并集的定义即可求出． 【解答】：解：集合A={x∈N| 12 ＜2x+1＜16}={x∈N|-2＜x＜3}={0，1，2}，B={x|x2-4x+m=0}， 若1∈A∩B， ∴1∈B， ∴1-4+m=0， 即m=3， ∴B={x|x2-4x+3=0}={1，3} 则A∪B={0，1，2，3}， 故选：D． 【点评】：本题考查集合的并集的定义和运算，是基础题 2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+2i）=|4-3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（　　） A.-2 B.-2i C.1 D.i 【正确答案】：A 【解析】：先求|4-3i|，再把等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】：解：由z（1+2i）=|4-3i|= 42+−32=5 ， 得z= 51+2i=51−2i1+2i1−2i=1−2i ， ∴复数z的虚部为-2． 故选：A． 【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.（单选题，5分）等比数列{an}中，a1+a2=1，a4+a5=-8，则 a7+a8a5+a6 =（　　） A.2 B.-4 C.4 D.-8 【正确答案】：C 【解析】：设等比数列{an}的公比为q，由a4+a5=（a1+a2）q3可求出q=-2，从而利用 a7+a8a5+a6 = a5+a6q2a5+a6 =q2进行求解即可． 【解答】：解：设等比数列{an}的公比为q， 由a4+a5=（a1+a2）q3，得q3=-8，解得q=-2， 所以 a7+a8a5+a6 = a5+a6q2a5+a6 =q2=4． 故选：C． 【点评】：本题主要考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题． 4.（单选题，5分）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（　　） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B 【解析】：先阅读理解题意，再利用充分必要条件判断即可得解． 【解答】：解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”， “攻破楼兰”不能够推出“返回家乡”， 故“返回家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件． 故选：B． 【点评】：本题考查了充分必要条件及阅读理解能力，属于基础题． 5.（单选题，5分）饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（　　） A. 116 B. 18 C. 14 D. 12 【正