专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.1.如图，直线y=与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y=与x轴交于点C，与y轴交于点B，∴B(0,3)，C(4,0)，将B(0,3)，C(4,0)代入y= 得：，解得：，∴抛物线的解析式为：.（2）过点E作EF⊥x轴于F，交BC于M，设E（x，），则M（x，），∴ME=－（）=∴S△BEC=×EM×OC=2EM=2()=,∴当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).（3）由题意得：M(2，)，抛物线对称轴为：x=1，A(－2,0),设P(m，y)，y=，Q(1，n)①当四边形APQM为平行四边形时，有：，解得：m=－3，即P(－3，)；②当四边形AMPQ为平行四边形时，有：－2+m=2+1，即m=5即P(5, )；③当四边形AQMP为平行四边形时，有：2－2=1+m，得：m=－1，即P(－1，)；综上所述，抛物线上存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为：(－3，)，(5, )，(－1，).2.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M的坐标；（2）求△BCM的面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(－1，0)，B(3，0)， C(0，－3)代入y=ax2+bx+c，得：，解得：a=1，b=－2，c=－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得 x=1+或x=1﹣，∴Q(1+，3)或(1﹣，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：(1+，3)或(1﹣，3)或(2，﹣3).3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx－5得：，解得：，即抛物线的解析式为：y=x2－4x－5.（2）在y=x2－4x－5中，当x=0时，y=－5，即C(0，－5),∵CE∥x轴，则C、E关于直线x=2对称，∴E(4，－5), CE=4，由B（5,0）, C(0，－5)得直线BC的解析式为：y=x－5，设H(m，m2－4m－5)，∵FH⊥CE，∴F(m，m－5)，∴FH= m－5－（m2－4m－5)= －m2+5m，S四边形CHEF=·FH·CE=（－m2+5m）×4=－2（m－）2+，当m=时，四边形CHEF的面积取最大值，此时H(，).（3）设M（2，m），N(n，)，B(5,0)，C(0，－5)，①当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+=0－5，即n=3，设BC与MN交于点H，则H(，)，MH=BC=，∴，解得：m=1或m=－6，当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，②当BC为矩形边时，分两种情况讨论：（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2， =m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.4.如图，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接BD．（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F，M，G，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，∴，解得：，即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.（2）由y=-x2+2x+3知，C(0，3)，E(1，0)，D(1,4)，可得直线BD的解析式为：y=-2x+6，设P（m，-2m+6），由勾股定理得：PE2=，PC2=，由PE=PC，得：=，解得：m=2，即P(2，2).（3）∵M在x轴上，N在直线PF上，∴∠NFM=90°，由四边形MFNG是正方形，知MF=MG，设M(n，0)，则G(n，-n2+2n+3)，MG=|-n2+2n+3|，MF=|n-2|，∴|-n2+2n+3|=|n-2|，解得：n=或n=或n=或n=，故点M的坐标为：（，0），（，0），（，0），（，0）.5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），点P在抛物线上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC平分∠PMO，求t的值.（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C、D、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-4,0)，B(1,0)，C（0,3），∴，解得：，即抛物线的解析式为：y=x2x+3.（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=，∵点P的横坐标为t，∴M(t, )，∵PN∥y轴，∴∠PMC=∠MCO，∵MC平分∠PMO，∴∠PMC=∠OMC，∴∠MCO=∠OMC，即OM=OC=3，∴OM2=9，即，解得：t=0（舍）或t=，∴当MC平分∠PMO时，t=.（3）设P(t, t2t+3)，①当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD∥y轴，CD=PD，则D(t，),∴PD=t2t+3－（）=t2t，由勾股定理得：CD==，∴t2t=，解得：t=0（舍）或t=，即PD=，菱形面积为：×=；②当CE为菱形的对角线时，此时P与D点关于y轴对称，则D(-t, t2t+3)，将D点坐标代入y=，得：t2t+3=，解得：t=0（舍）或t=－2，PD=4，CE=3，菱形的面积为：×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：或6.6.如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，∴OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=，b=，∴抛物线解析式为y＝x2x+2；（2）以AC为边或对角线分类讨论：A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝x2x+2的对称轴为x＝﹣1，设M(m, yM)，N(－1，n)，yM=m2m+2①当四边形ACMN为平行四边形时，有：，解得：m=2，yM=，即M(2，)；②当四边形ACNM为平行四边形时，有：，解得：m=－4，yM=，即M(－4，)；③当四边形AMCN为平行四边形时，有：，解得：m=－2，yM=2，即M(－2，2)；综上所述，点M的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）．7.如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得∠ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时， y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵。