2022年山东省淄博市第十二中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年山东省淄博市第十二中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?UP＝(　　) A．(－∞，－1)　　　　 B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 参考答案： D 略 2. （04年全国卷Ⅱ理）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则＝，其中＝ （A）　　　　　　　（B）－　　　　　　　（C）2　　　　　　（D）－2 参考答案： 答案：D 3. 某单位有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工是老职工的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽出的样本中有青年职工32人，则该样本中老年职工人数为     A．9       B．18      C．27     D．36   参考答案： B 略 4. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A．             B． C．             D． 参考答案： B 试题分析：解：由，得；①若，设，则当，，此时 当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时，作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知； ②若，设，则当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知，所以的取值范围，故答案为B． 考点：函数的零点与方程的根关系． 5. 若是抛物线上不同的点，且，则的取值范围是（ 　 ） A．(－∞,－6)∪[10,+∞)              B．(－∞,－6]∪(8,+∞)  C．(－∞,－5]∪[8,+∞)               D．(－∞,－5]∪[10,+∞) 参考答案： A 6. 已知 则（） A.10      B.5      C.1      D.0 参考答案： D 看似二项式展开，实则是导数题目 求导得 令x=0得 令x=1得 7. 已知等差数列中，，则的值是 （    ）     A．15             B．30             C．31             D．64 参考答案： A 略 8. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，则n=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： D 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n． 【解答】解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36， 即a1+nd+a1+（n+1）d=36， 又a1=1，d=2， ∴2+2n+2（n+1）=36． 解得：n=8． 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题． 9. 已知的三顶点坐标为,,,点的坐标为,向内部投一点,那么点落在内的概率为(    ).     A.             B.              C.             D. 参考答案： A 略 10. （5分）（2015?枣庄校级模拟）已知f（x）=，则f（）+f（﹣）的值为（　　） 　 A． B． ﹣ C． ﹣1 D． 1 参考答案： C 【考点】： 分段函数的应用． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可． 解：f（x）=， 则f（）+f（﹣）=f（﹣1）+cos（﹣）=f（）+cos=f（﹣1）﹣cos=f（﹣）﹣=cos（﹣）﹣==﹣1． 故选：C． 【点评】： 本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，B=45°，tanA?tanC＞1，则角C的大小为　　． 参考答案： 75° 【考点】GR：两角和与差的正切函数． 【分析】由条件利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值，再利用三角形内角和公式求得C的值． 【解答】解：△ABC中，∵a=，b=2，B=45°，tanA?tanC＞1， ∴A、C都是锐角，由正弦定理可得==，∴sinA=，∴A=60°． 故C=180°﹣A﹣B=75°， 故答案为：75°． 【点评】本题主要考查正弦定理，三角形内角和公式，属于基础题． 12. 已知点的坐标满足，则的取值范围为          . 参考答案： 试题分析：在直角坐标系内作出可行域及直线，如下图所示，过点作直线于点，，表示可行域内的点到直线的距离，表示可行域内的点到原点的距离，所以，当点在直线上时，，当点在直线r在右上方时，，此时的取值范围为，当点在直线r在左下方时，，此时的取值范围为，综上的取值范围为. 考点：1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义. 【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特. 13. 设抛物线的焦点为，直线过焦点，且与抛物线交于两点，，则          ． 参考答案： 2 14. 已知，过点作一直线与双曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为          . 参考答案： 或 15. 定义在上的函数满足.若当时., 则当时,=________________.   参考答案： 16. 设有序集合对满足：，记分别表示集合的元素个数，则符合条件的集合的对数是________. 参考答案： 44对 由条件可得。当时，显然不成立；当时，则，所以，符合条件的集合对有1对；当时，则，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当时，则，所以A中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当时，则，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对。   17. 当时，4x＜logax，则a的取值范围　　． 参考答案： 【考点】指、对数不等式的解法． 【分析】若当时，不等式4x＜logax恒成立，则在时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案． 【解答】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示 若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示） ∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a= 故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1 故答案为：（，1） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）          已知向量，求：          （1）；          （2）的值. 参考答案： 19. 已知函数f(x)=tan(x+)． （Ⅰ）求f（x）的定义域； （Ⅱ）设β是锐角，且 f(β)=2cos(β+)，求β的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；函数的定义域及其求法；正切函数的定义域． 【分析】（Ⅰ）利用正切函数的性质即可求f（x）的定义域； （Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可得，利用，化简可得，结合范围即可得解β的值． 【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由，得，k∈Z… 所以 函数f（x）的定义域是… （Ⅱ）依题意，得… 所以．①… 因为β是锐角，所以，… 所以，… ①式化简为… 所以，… 所以… 20. 如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为r m的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上． （1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上? （2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值． 参考答案： (1)当为时，点在路面中线上；（2） 【分析】 （1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA＝CP＝r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值； （2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值． 【详解】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0）， ∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则， 两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6， ∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b﹣10＝0， 当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2）， 令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0）， ∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10． ∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣， 当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m． 【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题． 21. 已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·= 6 , 与的夹角为. (1) 求的范围;(2)求函数= 的最大值. 参考答案： 解：（1）∵ ∴S=3.    ∴。 （2）上递增，∴.   略 22. 已知抛物线y2=8x与垂直x轴的直线l相交于A，B两点，圆C：x2+y2=1分别与x轴正、负半轴相交于点P、N，且直线AP与BN交于点M （1）求证：点M恒在抛物线上； （2）求△AMN面积的最小值． 参考答案： 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】（1）求出直线AP，BN的方程，可得M的坐标，即可证明结论； （2）求出三角形的面积，利用基本不等式，即可得出结论． 【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1）（x1＞0）， 由题意，P（1，0），N（﹣1，0）， 直线AP的方程为（x1﹣1）y=y1（x﹣1）， 直线BN的方程为（x1+1）y=﹣y1（x+1）， 联立，解得x=，y=﹣， ∵y12=8x1，∴y2=8x， 即点M恒在抛物线上； （2）由（1）可得△AMN面积S=|NP|（|y1|+|yM|）=|y1|+||=|y1|+||， 当且仅当y1=，即A（1，）时取等号，△AMN面积的最小值为4． 【点评】本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，考查基本不