山西省晋中市太古中学高三数学文联考试题含解析

山西省晋中市太古中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球O的表面积为 A. 4π B. 12π C. 16π D. 36π 参考答案： C 如图所示，∵，∴为直角，即过△ABC的小圆面的圆心为BC的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径R=2，球的表面积为，故选C． 2. 定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是（    ） A．－1           B．0              C．1              D．2 参考答案： B 3. 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下: 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”; 小王说:“丁团队获得一等奖”; 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是 （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 参考答案： D 本题考查学生的逻辑推理能力. 1.         若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符; 2.         若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符; 3.         若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符; 4.         若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意. 故选D. 4. 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（　　） A．[0，1] B．[，] C．[1，2] D．[，2] 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论． 【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意； 若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意． 故选C． 【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题． 5. 已知复数z1=（m∈R）与z2=2i的虚部相等，则复数z1对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出． 【解答】解：复数z1===﹣mi﹣1与z2=2i的虚部相等， ∴﹣m=2，解得m=﹣2． z1=﹣1+2i 则复数z1对应的点（﹣1，2）在第二象限． 故选：B． 6. 设,则a,b,c的大小顺序是(    ) A.   B.    C.    D. 参考答案： D 7. 已知i为虚数单位，若复数 A．1      B．      C．      D．2      参考答案： C 8. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 A.        B.           C.          D. 参考答案： A 9. 程序框图如下： 如果上述程序运行的结果的值比2016小，若使输出的最大，那么判断框中应填入 （   ） A．? B．? C．? D．? 参考答案： C 考点：算法和程序框图 试题解析：否，否，否，是。 即k=10时否，k=9时是，故判断框中应填入：。 故答案为：C 10. 的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（   ） A．      B．      C．      D．      参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数(a＜b)在R上单调递增，则的最小值为______. 参考答案： 3 略 12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=36，则a2+a5+a8=　　． 参考答案： 12 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知求出等差数列的第5项，然后由等差数列的性质得答案． 【解答】解：在等差数列{an}中，由S9=36， 得9a5=36，∴a5=4， 再由等差数列的性质得：a2+a5+a8=3a5=3×4=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题． 13. 已知全集，集合，，则A∪B中所有元素的和是         . 参考答案： 2006或2007或－2 【分析】 首先化简集合，然后分：①A中有两个相等的实数根，②，③A中有两个不相等的实数根，三种情况进行讨论即可求得结果. 【详解】由题意可知， （1）若A中有两个相等的实数根，则，此时，所有元素之和为2007； （2）若，则，由韦达定理可知，所有元素之和为-2； （3）若A中有两个不相等的实数根，且，则由韦达定理可知，所有元素之和为2008+(-2)=2006. 故答案为:2006或2007或-2. 【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用. 14. “x>1”是“x2>x”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 参考答案： 充分不必要 15. 已知函数在x＝－1时有极值0，则m＝______；n＝_______； 参考答案： m＝2，n＝9。 16. 如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成． 若对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），其中a＞0，0＜φ＜，则φ的最小值为　　． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】由题意得到x＞x﹣12asinφ，再由对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），可得x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a，即sinφ，由此求得φ的最小值． 【解答】解：∵0＜φ＜， ∴sinφ∈（0，1）， 又a＞0，则﹣12asinφ∈（﹣12a，0）， ∴x＞x﹣12asinφ， ∵对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ）， ∴x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a， 即sinφ， ∴φ． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题． 17. 已知函数在处取得极值，且函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}的前3项分别为1，a，b，公比不为1的等比数列{bn}的前3项分别为4， 2a +2，3b + 1． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前n项和Sn． 参考答案： （1）， ．（2）． 试题分析： （1）由题意可求得，从而可得到等差数列的公差和等比数列的公比，从而可求得数列的通项公式。（2）由（1）可得，从而利用裂项相消法求和。 试题解析： （1）由题意，得 解得（舍去）或 所以等差数列的公差为， 故， 等比数列的公比为， 故. （2）由（1）得， 所以. 19. （12分）已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边． （Ⅰ）求角的大小；        (Ⅱ) 若，求△ABC的面积． 参考答案： 解析：（Ⅰ）∵   ∴----①,----②  由①得------③ 在△ABC中,由正弦定理得    ∵    ∴  ∴,∵  ∴ …………6分 (Ⅱ) ∵,由余弦定理得,--④  由②得-⑤  由④⑤得，∴=.  ……………………………12分 20. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：   月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85   （1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数； （2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：，. 参考答案： （1）由表中数据知，， ∴， ， ∴所求回归直线方程为. 令，则人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分别为， 4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为，从这7人中任选2人包含以下基本事件，， ，，共21个基本事件； 设“其中两个恰好来自同一月份”为事件，则事件包含的基本事件是共有9个基本事件， . 21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c值，由离心率可得a值，再由b2=a2﹣c2可得b值； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l2得纵坐标，由中点在直线l1上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值； 【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1， 又e=，所以a=2，b2=a2﹣c2=3， 所以椭圆C的方程为； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到： （4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 因此，， 所以AB中点M（，）， 又M在直线l1上，得3×+=0， 因为m≠0，所以k=1，故，， 所以|AB|==?=， 原点O到AB的距离为d=， 得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立． 所以△OAB的面积S的最大值为． 22. (本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲  已知函数． （1）求证：；（2）解不等式. 参考答案： 解：（1），------------------3分 又当时，，     ∴-----------------------------------------------5分 （2）当时，；      当时，；