湖南省娄底市溪口中学2022-2023学年高一数学文测试题含解析

湖南省娄底市溪口中学2022-2023学年高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=的定义域是（　　） A．（1，2] B．（1，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2） 参考答案： B 【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域． 【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0，根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2最后取交集，解出函数的定义域． 【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1 根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2 ∴函数y=的定义域是（1，2） 故选B． 【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围，同时考查了分数函数等来确定函数的定义域，属基础题． 2. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与A1E所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 建系，再利用计算所成角的余弦值 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则 故选C 【点睛】异面直线所成角，能建系的一般建系较简单，再利用计算所成角的余弦值. 3. 已知，不共线，，，其中mn≠1.设点P是直线BN，CM的交点，则（   ） A．          B．      C.           D． 参考答案： A 根据题中所给的条件， 可知, ， 根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的， 得到，解得， 代入可得 ，故选A. 4. 若函数在上是增函数，那么的大致图象是                                     （　　） 二、 参考答案： A 5. 若将内的随机数a均匀地转化到内的随机数b，则可实施的变换为 A．　　　 B．　　C．　　　D． 参考答案： B 略 6. 若函数f（x）=loga（x2﹣ax+3）在区间（﹣∞，）上是减函数，则a的取值范围是(     ) A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，] D．（1，） 参考答案： C 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】内层函数g（x）=x2﹣ax+3在区间（﹣∞，）上是减函数，由复合函数的单调性知，外层函数y=logag（x）为增函数，得到a的初步范围，再由g（x）=x2﹣ax+3在区间（﹣∞，）上大于0恒成立求出a的范围，取交集后求得实数a的取值范围． 【解答】解：由对数式的底数大于0且不等于1知，a＞0且a≠1． 令g（x）=x2﹣ax+3，函数的对称轴方程为x=， 函数g（x）=x2﹣ax+3在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数， 要使复合函数f（x）=loga（x2﹣ax+3）在区间（﹣∞，）上是减函数， 则外层函数y=logag（x）为增函数，且同时满足内层函数g（x）=x2﹣ax+3在（﹣∞，）上大于0恒成立， 即， 解得：1＜a． ∴使函数f（x）=loga（x2﹣ax+3）在区间（﹣∞，）上是减函数的a的取值范围是（1，]． 故选：C． 【点评】本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题． 7. 设集合，，， 则图中阴影部分所表示的集合是 （    ）                               A. B.      C.   D. 参考答案： A 略 8. 在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足：：：5：4，则（） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据正弦定理可知，再根据余弦定理求. 【详解】根据正弦定理可知, 设 . 故选A. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，属于简单题型. 9. 等比数列中，， ，则的值是（     ） A．14     B．18    C．16    D．20 参考答案： C 10. 在中，，则角A的值为            ． 参考答案： 或 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数y=，则函数的值域为　    　． 参考答案： [﹣2，] 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】函数解析式变形后 【解答】解：函数y===3﹣， ∵﹣1≤sinx≤1， ∴1≤sinx+2≤3，即≤≤1， ∴﹣2≤y≤， 则函数的值域为[﹣2，]． 故答案为：[﹣2，] 12. 已知函数的定义域是，则的值域是                 参考答案： 13. 已知直线和直线平行，那么实数k=___________. 参考答案： 4 【分析】 利用两条直线相互平行的充要条件即可得出． 【详解】直线,即， 直线，即， 又直线和直线平行， ∴，即=4 故答案为：4 【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 不等式的解集是__________． 参考答案： 15. 若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是       参考答案： 略 16. 函数的单调递增区间为___________． 参考答案： 画出函数的图象，结合图象可得函数的单调递增区间为。 答案：   17. （5分）如图，正方形OABC的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为         ． 参考答案： 8 考点： 平面图形的直观图． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据题意，把该平面图形的直观图还原为原来的图形，得出原来的图形是平行四边形，求出它的面积即可． 解答： 根据题意，画出图形，如图所示； 把该平面图形的直观图还原为原来的图形，如图所示；[来源:学+科+网] ∴四边形A′B′C′D′是平行四边形，且A′D′=AD=2，B′D′=2BD=4 ∴平行四边形A′B′C′D′的面积是A′D′?B′D′=2×4=8． 故答案为：． 点评： 本题考查了平面图形的直观图的应用问题，是基础题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 已知是矩形，平面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角． 参考答案： 证明：（1）在中，， 平面，平面， 又，平面 （2）为与平面所成的角 在，，在中， 在中，，   略 19. （本小题满分8分） 已知非零向量、满足，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，求向量与的夹角的值。 参考答案： 20. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立． （1）求f（1）的值； （2）求a的取值范围； （3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）在给出的不等式中，令x=1，根据这个条件可求出f（1）的值； （2）联立f（1）=2，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）﹣2x≥0恒成立，即：ax2+（b﹣1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b﹣2）2﹣4ac≤0时，求得a=c＞0，再由f（x）（x+1）2恒成立，可得二次项系数小于0，判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围； （3）讨论当1≤x≤2时，当﹣2≤x＜1时，去掉绝对值，运用二次函数的对称轴和区间的关系，求得最小值，解方程可得a的值． 【解答】解：（1）令x=1，由2x≤f（x）（x+1）2可得， 2≤f（1）≤2，∴f（1）=2； （2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2﹣（a+c）， ∵对于一切实数x，f（x）﹣2x≥0恒成立， ∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立， ∴，即． 可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0， 则f（x）=ax2+bx+a， f（x）（x+1）2恒成立，即为（a﹣）x2+（b﹣1）x+（a﹣）≤0， 可得a﹣＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣）2≤0， 由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立； 综上可得a的范围是（0，）； （3）函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|=ax2+（2﹣2a）x+a+2a|x﹣1|（0＜a＜）， 当1≤x≤2时，g（x）=ax2+2x﹣a在[1，2]递增，可得x=1时，取得最小值2； 当﹣2≤x＜1时，g（x）=ax2+（2﹣4a）x+3a，对称轴为x=， 当≤﹣2，即为0＜a≤时，[﹣2，1）递增， 可得x=﹣2取得最小值，且为4a﹣4+8a+3a=﹣1，解得a=； 当＞﹣2，即＜a＜时， x=，取得最小值，且为=﹣1， 解得a=?（，）． 综上可得，a=． 【点评】此题考查的是二次函数解析式问题，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，以及不等式恒成立问题的解法；抓住不等式恒成立的条件，考查二次函数最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题． 21. 设函数（＞0且，），f（x）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性； （2）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），，求g（x）的值域； （3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于时恒成立．请求出最大的整数λ． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数， ∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x， ∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数， 设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+）， ∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数； （Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）， 则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），，令t=2x﹣2﹣x，， 由（1）可知该函数在区间上为增函数，则﹣，， 则y=h（t）=t2﹣2t+2，﹣，， 当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，， （Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在时恒成立 令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则， 则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立， λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10．   略 22. 已知数列的前项和为，且＝，数列中，，点在直线上． （1）求数列的通项和； (2) 设，求数列的前n项和． 参考答案： 解：（1）       .                          ； （2） 因此： 即： . 略