湖北省孝感市孝昌县航天高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析

湖北省孝感市孝昌县航天高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数满足约束条件如果目标函数的最大值为，则实数a的值为（    ） A．3         B．       C．3或         D．3或 参考答案： D 先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为，目标函数的最大值只需直线的截距最大， 当， (1) ,即时，最优解为，，符合题意； （2） ，即时，最优解为，，不符舍去； 当， （3），即时，最优解为，，符合； （4），即时，最优解为，，不符舍去；，， 综上：实数的值为3或，选D.   2. 已知向量，，且∥，则m等于                  (      ) A.            B.            C.           D.  参考答案： B 3. 右图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是     A.                   B．      C．                  D.  参考答案： A 略 4. 设是定义在上的奇函数，当时，，则 (    ) A.        B.       C.１　　　　　　D.3 参考答案： 【知识点】奇函数的性质. 【答案解析】A解析 ：解：因为当时，，所以，又因为是定义在R上的奇函数，故有.故选：A. 【思路点拨】先利用已知的解析式求出，再利用奇函数的性质求出即可. 5. 已知的值 （   ） A．不大于      B．大于            C．不小于        D．小于 参考答案： B 略 6. 复数z满足(1+2i)z=4+ai(a∈R，i是虚数单位)，若复数z的实部与虚部相等则a等于   A．12    B．4     C．    D．l2 参考答案： D 略 7. 若那么下列各式中正确的是（     ） A．         B.        C.        D. 参考答案： C 略 8. 已知4，4，4成等比数列，则点( x，y )在平面直角坐标系中的轨迹为（   ） （A）圆的一部分 （B）椭圆的一部分 （C）双曲线的一部分 （D）抛物线的一部分   参考答案： C 9. 函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，设a=f(-1)，b=f()，c=f(2)，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】利用导数的符号，确定函数的单调性，结合函数的对称性，判断大小． 【解答】解：因为（x）=f（2﹣x），所以函数f（x）关于x=1对称， 当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0， 所以f′（x）＞0，所以f（x）单调递增， 而f（2）=f（0），f（）=f（）， ﹣1＜0＜， ∴f（﹣1）＜f（0）=f（2）＜f（）=f（）， 即a＜c＜b， 故选：C． 　 10. 已知中，，，的对边分别为三角形的重心为. ，则        (   ）                           参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知椭圆 的离心率 ，则m的值等于          ． 参考答案： 或          当焦点在x轴上时，，，，当焦点在y轴上， 解得或, 故答案为或. 12. 已知抛物线C：的焦点为F，准线是，点P是曲线C上的动点，点P到 准线的距离为，点，则的最小值为　　　　　． 参考答案： 13. 已知且，则xy的最大值为__________. 参考答案：   14. 若函数f(x)=x2+在区间上单调递增，则实数的取值范围是    参考答案： 略 15. 已知直线x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是　　． 参考答案： 3x﹣y﹣3=0 考点： 直线与圆相交的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆． 分析： 根据直线与圆相交于A，B两点，得到线段AB的垂直平分线过圆心，且斜率与直线AB的斜率乘积为﹣1，将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据直线AB方程求出线段AB垂直平分线斜率，即可确定出所求的直线方程． 解答： 解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=4， ∴圆心坐标为（1，0）， ∵直线AB方程x+3y+1=0的斜率为﹣， ∴线段AB的垂直平分线方程的斜率为3， 则线段AB的垂直平分线的方程是y﹣0=3（x﹣1）， 即3x﹣y﹣3=0． 故答案为：3x﹣y﹣3=0 点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线的一般式方程与直线垂直关系，弄清题意是解本题的关键． 16. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是                   参考答案： 略 17. 下列判断： （1）命题“若则”与“若则”互为逆否命题； (2)“”是“”的充要条件； （3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题； （4）命题“”为真命题，其中正确的序号是              。 参考答案： （1）（3）(4)    略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，椭圆经过点，右准线，设O为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），直线AP交l于M（点M在x轴下方）． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过右焦点F作OM的垂线与以OM为直径的圆H交于C，D两点，若，求圆H的方程； （3）若直线AP与AQ的斜率之和为2，证明：直线PQ过定点，并求出该定点． 参考答案： （1）由，解得． 所以椭圆的标准方程为． （2）设，由得， 则方程为，即． 因为圆心，则圆心到直线的距离为． 圆半径为，且，由，代入得． 因为点在轴下方，所以，此时圆H方程为． （3）设方程为：，，令， 由直线与的斜率之和为2得， 由得，① 联立方程，得， 所以，代入①得，， 由得，即， 所以方程为，所以直线过定点，定点为． 19. 某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物： ①在1000元以上者按九五折优惠； ②在2000元以上者按九折优惠； ③在5000元以上者按八折优惠。 (1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式； (2）写出表示优惠付款的算法； 参考答案： （1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为： (2）用条件语句表示表示为： 20. （12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率； （Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，e==，即可求得椭圆C的标准方程及离心率； （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，由向量的共线定理求得y2=﹣2y1，即可求得y1和y2，则即可求得m的值，即可求得直线方程；解法2：当直线l⊥x时， =1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意，设直线L的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2，即可求得k的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形， a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分） ∴椭圆C的标准方程为，… 椭圆的离心率e==；… （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1， 则，… 整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0， △=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0， 由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…（7分） 则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分） 若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分） 解得：，则y1?y2=﹣，…（10分） 故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分） 故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1， 即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0   …（12分） 解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0）， 直线l⊥x时， =1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．… 可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分） ，消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分） 则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 则x1+x2=﹣，①x1?x2=，②．…（8分） =（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）． 若PA∥QF1，则∥， 则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0． 化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分） 联立①③可得x1=，x2=，…（10分） 代入②可以解得：k=±．…（11分） 故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 21. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据。 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤。试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？                     参考答案： （1）略 （2）＝32.5＋43＋54＋64.5＝66.5， ＝＝4.5，＝＝3.5， ，＝， ＝3.5－0.74.5＝0.35．故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35． （3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65（吨） 略 22. 在二项式（1﹣2x）9的展开式中， （1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和． 参考答案： 【考点】DC：二项式定理的应用． 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式的第四项． （2）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式的常数项． （3）在二项式（1﹣2x）9的展开式中，令x=1，可得展开式中各项的系数和． 【解答】解：（1）在二项式（1﹣2x）9的展开式中，展开式的第四项为T4=?（﹣2x）