浙江省湖州市轧村中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析

浙江省湖州市轧村中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（　　） A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．0 参考答案： B 【考点】四种命题． 【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可． 【解答】解：∵原命题和逆否命题互为等价命题， 逆命题和否命题互为等价命题， ∴四种命题真命题的个数为0或2或4个， 故选：B． 2. 袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：,故选D. 考点：条件概率与独立事件. 【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．属于中档题，看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键. 3. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（　 ）A.或5             B.或5      C.         D.   参考答案： C 4. 在数列中，且对于任意大于的正整数，点在直线上，则的值为（     ）． A．        B．        C．        D． 参考答案： A  解析： ，即，得数列是等差数列，且首项， 公差，而． 5. 已知tanα=，则=（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D． 参考答案： A 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用同角三角函数间的基本关系和商数关系，即可得到cosα的值，再由三角函数的诱导公式以及二倍角公式化简代值，即可得答案． 【解答】解：tanα=， 则，又sin2α+cos2α=1， 解得：cosα=﹣， 则=cos2α﹣cosα=2cos2α﹣1﹣cosα=2×（）2﹣1=0． 故选：A． 6. 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是(     ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： C 【考点】三角形的形状判断． 【专题】计算题． 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinBsinC不为0，在等式两边同时除以sinBsinC，移项后再根据两角和与差的余弦函数公式化简，可得出cos（B+C）=0，根据B和C都为三角形的内角，可得两角之和为直角，从而判断出三角形ABC为直角三角形． 【解答】解：根据正弦定理===2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入已知的等式得：（2RsinB）2sin2C+（2RsinC）2sin2B=8R2sinBsinCcosBcosC， 即sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC，又sinBsinC≠0， ∴sinBsinC=cosBcosC， ∴cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=0，又B和C都为三角形的内角， ∴B+C=90°， 则△ABC为直角三角形． 故选C 【点评】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理解决了边角的关系，是本题的突破点，学生在化简求值时特别注意角度的范围． 7. 设，且，则的最小值是（  ） A．9       B．25       C．50     D．162 参考答案： C 略 8. 已知函数下列结论中① ②函数的图象是中心对称图形 ③若是的极小值点，则在区间单调递减 ④若是的极值点，则． 正确的个数有（    ） A．1              B．2              C．3              D．4 参考答案： C 9. 在R上可导的函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是（    ） A．          B．          C．            D． 参考答案： D 10. 设函数，则下列结论错误的是（     ）       参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的标准方程为______________． 参考答案： (x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37 12. 已知则x=          。 参考答案： 3或7 13. 已知复数为纯虚数，则实数m=         ； 参考答案： 略 14. 口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为        ． 参考答案： 从4个球中任取两个球共有=6种取法，其中编号之和大于5的有2,4和3,4两种取法，因此所求概率为. 15. 已知集合，，若则实数的取值范围是，则         参考答案： 4 略 16. 盒子中有8只螺丝钉，其中仅有2只是坏的.现从盒子中随机地抽取4只，恰好有1只是坏的概率等于________.(用最简分数作答) 参考答案： 略 17. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：b2017是数列{an}中的第　    　项． 参考答案： 5044 【考点】F1：归纳推理． 【分析】由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列{an}的通项为，an=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b2017在数列{an}中的位置． 【解答】解： 由前四组可以推知an=， 从而b1=a4=10，b2=a5=15，b3=a9=45，b4=a10=55， 依次可知，当n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时， 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除， 由于b2017是第2017个可被5整除的数， 故它出现在数列{an}按五个一段分组的第1008组的第4个数字， 由此知，b2017是数列{an}中的第1008×5+4=5044个数． 故答案为：5044 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知，求. 参考答案： 解:设，代入已知方程得：        2分           6分 由复数相等的定义得   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网          且          8分 解得：              10分                          12分 略 19. 如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为的正三角形，侧面底面． （）设的中点为，求证：平面． （）求斜线与平面所成角的正弦值． （）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值． 参考答案： （）见解析．（）．（）． （）证明：∵侧面是正三角形，中点为， ∴， ∵侧面底面， 侧面底面， 侧面， ∴平面． （）连接，设点， 以为原点，，过点且垂直于平面的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， 平面的法向量， 设斜线与平面所成角为， 则． （）设， ，， ， 设平面的法向量为， ∴，， ， 取，， 又∵平面的法向量， ∴， ∴， 解出（舍去）或， 此时． 20. （本小题满分12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为n mile； 在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，求： （Ⅰ）A处与D处之间的距离； （Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离. 参考答案： 解：（Ⅰ）在△ABD中，由已知得　∠ADB=，B=． 　　由正弦定理得      ．………………6分 　（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得 　　，解得CD= . 所以A处与D处之间的距离为24 n mile，灯塔C与D处之间的距离为n mile. …12分 略 21. （14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线 l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2 都相切. (1)求l2所在直线的方程和圆C的方程； (2)设分别是直线l和圆C上的动点，求的最小值及此时点的坐标．   参考答案： 解：（1）直线设.  的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为 .   即.………………………………3分 已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3， 故所求圆C的方程为. …………………………7分 （2）设点关于的对称点，则，得,…9分 固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为…12分 .此时由,得. ………14分 22. （本小题满分12分）  5个人站成一排，求在下列情况下的不同排法种数。 （1）       甲不在排头，乙不在排尾； （2）  甲乙两人中间至少有一人； （3）  甲、乙两人必须排在一起，丙、丁两人不能排在一起； （4）  甲、乙两人不能排在一起，丙、丁两人不能排在一起。 参考答案：