广西壮族自治区南宁市路西中学高三数学文上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市路西中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 参考答案： A 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】可画出图形，根据向量加法、减法，及数乘的几何意义便有，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y的值，从而找出正确选项． 【解答】解：如图， =； 又； ∴． 故选：A． 【点评】考查向量加法、减法，以及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理． 2. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 （    ） A． 4                    B． 5               C．6          D．7 参考答案： C 3. 已知实数x、y满足条件，若目标函数z=3x+y的最小值为5，则a的值为（　　） A．﹣17 B．﹣2 C．2 D．17 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出a的值即可． 【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为5， ∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则目标函数经过点B截距最小， 由，解得， 即B（2，﹣1），同时B也在直线ax+y+5=0， 即2a﹣1+5=0， 解得a=﹣2， 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键． 4. 已知集合M={x|x2﹣6x+5＜0，x∈Z}，N={1，2，3，4，5}，则M∩N=（　　） A．{1，2，3，4} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{1，2，4，5} 参考答案： C 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】先分别求出集合M和N，由此利用交集定义能求出M∩N． 【解答】解：∵集合M={x|x2﹣6x+5＜0，x∈Z}={2，3，4}， N={1，2，3，4，5}， ∴M∩N={2，3，4}． 故选：C． 5. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 A．(－1,2)                B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6)                 D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 参考答案： B 略 6. 已知平面上的向量、满足，设向量，  则的最小值是（  ） A．1    B．2    C．    D．3 参考答案： 【知识点】向量的数量积F3 B 解析：因为，所以或P与A,B重合,则,所以选B. 【思路点拨】利用向量的平方等于模的平方，对所求的模进行转化，再利用已知向量的关系求最值即可. 7. 如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为 （A）         （B）   （C）         （D） 参考答案： 【答案解析】B解析：解：双曲线的渐近线方程为，因为直线L的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，，直线L的方程为，与联立，可得， 【思路点拨】根据已知条件列出关系式直接求解，离心圆锥曲线的几何性质是关键. 8. 设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　) A．a＜c＜b                          B．b＜c＜a C．a＜b＜c                          D．b＜a＜c 参考答案： D 9. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x (单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组对应数据：   x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5   根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，那么表格中t的值为（   ） A．3         B．3.15       C.3.25        D．3.5 参考答案： A 试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心， ，得，故答案为A．   10. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 (    )                   A．若，则     B．若，则 C．若，则     D．若，则 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =______ 参考答案： 2 12. 已知函数的部分图像如图所示，则的值为           参考答案： 略 13. 在锐角中，已知，则角的取值范围是          ，又若分别为角的对边，则的取值范围是          ． 参考答案： ， 14. 如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________． 参考答案： 15. 出红色或霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图)，每个灯泡均可亮黄色．现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡，且相邻两个不同时亮，则一共可呈现　　　　　　种不同的变换形式(用数字作答)．   参考答案： 答案：80 16. 若，则ab的值是             ． 参考答案： -7 17. 等比数列的前项和为，且成等差数列。若，则_______________。 参考答案： 15 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ． （1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，求． 参考答案： 解：（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：---------2分 由代入得 . （ 也可以是：或）---------------------5分 （Ⅱ） 得----7分 设，，则.---10分 19. (本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）an的通项公式为 an＝2n. （2）Tn＝(n－1)·2n＋1＋2. 20. 若数列满足，数列为E数列，记. （1）写出一个满足，且的E数列； （2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是； （3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由. 参考答案： （1）0，1，0，1，0；（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】 (1)根据与和可考虑写出0,1交替的数列. (2)先证明必要性,根据E数列是递增数列,可得,进而求得.再证明充分性,因为,故,再累加可得证明即可. (3) 设,则,再累加求得,再分析的奇偶,根据整除的性质,先假设存在再证明矛盾即可. 【详解】（1）0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列. （2）必要性：因为E数列是递增数列, 所以, 所以是首项为13,公差为1的等差数列. 所以, 充分性：由于,故, , …… , 所以,即, 又因为,, 所以, 故,即是递增数列. 综上所述,结论成立. （3）设,则, 因为, , …… , 所以 , 因为,所以为偶数（） 所以为偶数, 所以要使,必须使为偶数, 即4整除,亦即或, 当时, E数列的项满足,,, 此时,有且成立, 当时, E数列的项满足,,,时,亦有且成立, 当或时,不能被4整除,此时不存在数列,使得且成立. 【点睛】本题主要考查了数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.属于难题. 21. （本小题满分12分）以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)过原点且斜率不为0的直线与椭圆C交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP,AQ分别与y轴交于点M,N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由. 参考答案： 方法一： 解：（Ⅰ）依题意，得                                  …………3分 解得故椭圆的标准方程为.             …………5分 （Ⅱ），设，，， 则由题意，可得，　……（*）且，     ，.                       …………6分 因为三点共线，所以， 故有，解得.                …………7分 同理，可得.                                   …………8分 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即.……9分 因为，， 所以，即，整理，得，……10分 又由（*），得，所以，解得或.      故以为直径的圆恒过轴上的定点，.            …………12分 方法二： 解：（Ⅰ）同方法一； （Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，有，，，，此时以为直径的圆经过轴上的点和；                           …………6分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，解得，.…7分 设，，       又直线的斜率，直线的斜率， 因为三点共线，所以，解得得，     …………8分 同理，可得，                                  …………9分 假设存在满足题意的轴上的定点，则有，       …………10分 直线的斜率，直线的斜率， 所以，故有，即， 整理，得，解得或， 综合①②，可知以为直径的圆恒过轴上的定点，.  ………12分 22. （14分）已知数列{}中，（n≥2，），数列，满足（） （1）求证数列{}是等差数列； （2）若++ 是否存在使得：恒成立.若有，求出如果没有，请说明理由. 参考答案： 解：（1）由题意知　， 　　∴　．               …………3分 　　∴　{}是首项为，公差为1的等差数列．  …………5分 （2）依题意有++ = （ 裂项求和）…………………8分 　设函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）上为减函数． 故当n＝3时，=--  取最小值.…………………………10分 而函数在x＜3.5时，y＜0， ，在（，3.5）上也为减函数． 　　故当n＝2时，取最大值：＝．     …………………………    12分 分别为       …………………………14分